Question

7．問題背景：（1）如圖1，在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，作DF⊥AB于點F，EG⊥AC于點G，M是BC的中點，連接MD和ME，寫出MD和ME之間的數(shù)量關(guān)系是相等．

數(shù)學(xué)思考：（2）如圖2，在任意△ABC中，分別以AB、AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，M是BC的中點，連接MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出證明過程．
拓展探究：（3）如圖3，在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，M是BC的中點，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△ABD是等腰直角三角形，且DF⊥AB，所以得到DF=$\frac{1}{2}$AB，根據(jù)點G為AC的中點，點M為BC的中點，所以MG為△ABC的中位線，所以MG∥AB，且MG=$\frac{1}{2}$AB，同理FM∥AC，且FM=$\frac{1}{2}$AC，得到DF=MG，F(xiàn)M=EG，根據(jù)MG∥AB，F(xiàn)M∥AC，所以四邊形AFMG是平行四邊形，所以∠AFM=∠AGM，證明∠DFM=∠MGE，所以△DFN≌△MGE．
（2）DM⊥EM，且DM=EM，理由如下：設(shè)AB和DM交于點P，連接FM，GM，由（1）得：DF=MG，F(xiàn)M=EG，∠DFM=∠MGE，證明△DFM≌△MGE，得到DM=EM，由△DFM≌△MGE，得到∠FDM=∠EMG，所以∠DPA=∠DFP+∠FDM，根據(jù)MG∥AB，得到∠DMG=∠DPA=∠DFP+∠FDM，又由∠DMG=∠DM+∠EMG，得到∠DNE=∠DFP=90°，即可解答．
（3）類比（1）（2）可得：△MDE是等腰直角三角形．

解答 解：（1）相等，
理由：如圖1，取BC的中點M，連接DM，EM，MG，F(xiàn)M，
∵△ABD是等腰直角三角形，且DF⊥AB，
∴BF=AF，∴DF=$\frac{1}{2}$AB，
∵點G為AC的中點，點M為BC的中點，
∴MG為△ABC的中位線，
∴MG∥AB，且MG=$\frac{1}{2}$AB，同理FM∥AC，且FM=$\frac{1}{2}$AC，
∴DF=MG，F(xiàn)M=EG，
∵M(jìn)G∥AB，F(xiàn)M∥AC，
∴四邊形AFMG是平行四邊形，
∴∠AFM=∠AGM，
∵∠AFM+∠BFM=∠AGM+∠CGM=180°，
∴∠BFM=∠CGM，
∵DF⊥AB，
∴∠DFB=90°，同理∠EGC=90°，
∴∠DFB=∠EGC，
∴∠DFB+∠BFM=∠EGC+∠CGM，
∴∠DFM=∠MGE，
在△DFM和△MGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=MG}\\{∠DFM=∠MGE}\\{FM=EG}\end{array}\right.$，
∴△DFM≌△MGE，
∴MD=ME．
（2）MD=ME，
理由：作AB、AC的中點F、G，連接DF，MF，EG，MG，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB，AG=$\frac{1}{2}$AC．
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF⊥AB，DF=$\frac{1}{2}$AB，EG⊥AC，EG=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF，GE=AG．
∵M(jìn)是BC的中點，
∴MF∥AC，MG∥AB，
∴四邊形AFMG是平行四邊形，
∴AG=MF，MG=AF，∠AFM=∠AGM．
∴MF=GE，DF=MG，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE，
∴∠DFM=∠MGE．
∵在△DFM和△MGE中，$\left\{\begin{array}{l}{MF=GE}\\{∠DFM=∠MGE}\\{DF=MG}\end{array}\right.$，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴DM=ME；

（3）作AB、AC的中點F、G，連接DF，MF，EG，MG，DE，線段DE與MG交于H，
∵點M、F、G分別是BC、AB、AC的中點，
∴MF∥AC，MF=$\frac{1}{2}$AC，MG∥AB，MG=$\frac{1}{2}$AB，
∴四邊形MFAG是平行四邊形，
∴MG=AF，MF=AG．∠AFM=∠AGM．
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF=AF，GE=AG，∠AFD=∠BFD=∠AGE=90°
∴MF=EG，DF=MG，∠AFM-∠AFD=∠AGM-∠AGE，
即∠DFM=∠MGE．
∵在△DFM和△MGE中，$\left\{\begin{array}{l}{MF=GE}\\{∠DFM=∠MGE}\\{DF=MG}\end{array}\right.$，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴MD=ME，∠MDF=∠EMG，
∵M(jìn)G∥AB，
∴∠MHD=∠BFD=90°，
∴∠HMD+∠MDH=90°
∴∠HMD+∠EMG=90°，
即∠DME=90°，
∴△DME為等腰直角三角形．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，三角形的中位線的性質(zhì)的運用，直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)的運用，解答時根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)制造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．