Question

15．如圖，有一塊分別均勻的等腰三角形蛋糕（AB=AC且AB≠BC），在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，小明和小華決定只切一刀將這塊蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力質(zhì)量都一樣）．
這條分割直線(xiàn)既平分了三角形的面積，又平分了三角形的周長(zhǎng)，我們稱(chēng)這條直線(xiàn)為三角形的“等分積周線(xiàn)”．
（1）小明很快就想到了一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)A分割直線(xiàn)，請(qǐng)你用尺規(guī)作圖在圖1中畫(huà)出這條“等分積周線(xiàn)（不寫(xiě)畫(huà)法）．
（2）小華覺(jué)得小明的方法很好，所以自己模仿著在圖2中過(guò)點(diǎn)C畫(huà)了一條直線(xiàn)CD交AB于點(diǎn)D．你覺(jué)得小華會(huì)成功嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若AB=BC=5，BC=6，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算，在圖3中找出△ABC不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)的一條“等分積周線(xiàn)”．

Answer 1

分析 （1）作線(xiàn)段BC的中垂線(xiàn)即可．
（2）小華不會(huì)成功．如圖2所示．假設(shè)直線(xiàn)CD平分△ABC的面積，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，再證明AD+AC≠BD+BC即可．
（3）如圖3所示，設(shè)直線(xiàn)EF與AB、BC分別交于點(diǎn)E、F，直線(xiàn)EF符合條件，作EG⊥BC于點(diǎn)G，AH⊥BC于點(diǎn)H，得BH=CH=3，AH=4，S_△ABC=12，設(shè)BF=x，則BE=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）-BF=8-x，由△BEG∽△BAH，得$\frac{EG}{AH}$=$\frac{BE}{AB}$，求出EG，利用面積列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）作線(xiàn)段BC的中垂線(xiàn)AM，如圖1所示．

∵AM是BC的中垂線(xiàn)，
∴BM=CM，
∴S_△ABM=S_△ACM，
∵AB=AC，
∴AB+BM=AC+CM．
∴直線(xiàn)AM是△ABC的等分積周線(xiàn)．

（2）小華不會(huì)成功．

若直線(xiàn)CD平分△ABC的面積，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，如圖2所示．
由S_△ACD=S_△BCD，得$\frac{1}{2}$•AD•CE=$\frac{1}{2}$•BD•CE，于是BD=AD．
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC，
所以小華不會(huì)成功．                      

（3）設(shè)直線(xiàn)EF與AB、BC分別交于點(diǎn)E、F，直線(xiàn)EF符合條件，如圖3所示．

作EG⊥BC于點(diǎn)G，AH⊥BC于點(diǎn)H，得BH=CH=3，AH=4，S_△ABC=12．
  設(shè)BF=x，則BE=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）-BF=8-x．
∵EG∥AH，
∴△BEG∽△BAH，
∴$\frac{EG}{AH}$=$\frac{BE}{AB}$，
∴$\frac{EG}{4}$=$\frac{8-x}{5}$，于是EG=$\frac{4}{5}$（8-x） 
∵S_△EBF=$\frac{1}{2}$•S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•x•$\frac{4}{5}$（8-x）=6
解得 x=3（舍去，因此時(shí)EF過(guò)點(diǎn)A）或x=5
∴BF=5，BE=3．
∴直線(xiàn)EF符合條件．

點(diǎn)評(píng) 本題看成三角形綜合題、尺規(guī)作圖、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形，屬于中考?jí)狠S題．