Question

3．某校在一塊一邊筑墻（墻長15m）的空地上修建一矩形花園，如圖，花園一邊靠墻，另三邊用總長為50m的柵欄圍成，設(shè)BC邊長為xm，花園面積為ym²．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出自變量x的取值范圍．
（2）結(jié)合題意判斷，當x取何值時，花園面積最大．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)，由花園的BC邊長為x（m），可得AB=$\frac{50-x}{2}$，然后根據(jù)矩形面積的求解方法，即可求得S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，又由墻長15m，即可求得自變量x的范圍；
（2）根據(jù)（1）中的二次函數(shù)的增減性，可知當x＜25時，S隨x的增大而增大，故可得當x=15時，S最大，將其代入函數(shù)解析式，即可求得最大面積．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵BC=xm，AB+BC+CD=50m，
∴AB=$\frac{50-x}{2}$，
∴花園的面積為：S=x•$\frac{50-x}{2}$=-$\frac{1}{2}$x²+25x（0＜x≤20）；
∴S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=-$\frac{1}{2}$x²+25x（0＜x≤15）；

（2）∵S=-$\frac{1}{2}$x²+25x=-$\frac{1}{2}$（x-25）²+312.5，
∵a=-$\frac{1}{2}$＜0，
∴當x＜25時，y隨x的增大而增大，
∴當x=15時，y最大，最大值y=262.5m²．
∴當x=15m時，花園的面積最大，最大面積為265.2m²．

點評 此題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用問題．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是理解題意，能根據(jù)題意求得函數(shù)解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．