Question

【題目】如圖，己知拋物線與軸相交于點(diǎn)，其對稱軸與拋物線相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．

（1）求的長；

（2）平移該拋物線得到一條新拋物線，設(shè)新拋物線的頂點(diǎn)為．若新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且，求新拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）先利用函數(shù)關(guān)系式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求得AB的長；

（2）根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合三角函數(shù)可求得∠POA＝∠ABC＝45°，進(jìn)而可判斷點(diǎn)P在在一、三象限或二、四象限的角平分線上，分情況討論，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，a）或（-a，a），利用頂點(diǎn)式表示出新拋物線的函數(shù)表達(dá)式，再將原點(diǎn)O的坐標(biāo)代入計(jì)算即可．

解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝-1，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，-1），

∵

∴

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，-2），

∴；

（2）∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，-1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，-2），

∴tan∠ABC＝，

∴∠ABC＝45°，

∵∠POA＝∠ABC，

∴∠POA＝45°，

∴點(diǎn)P在一、三象限或二、四象限的角平分線上，

當(dāng)點(diǎn)P在一、三象限的角平分線上時(shí)，

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，a）

則設(shè)此時(shí)新拋物線的解析式為

∵新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，

∴將（0，0）代入，得

解得（舍去）

∴，

即，

當(dāng)點(diǎn)P在二、四象限的角平分線上時(shí)，

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（-a，a）

則設(shè)此時(shí)新拋物線的解析式為

∵新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，

∴將（0，0）代入，得

解得（舍去）

∴，

即，

綜上所述，新拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為或．