Question

【題目】如圖，在□ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AB=OB，E為AC上一點，BE平分∠ABO，EF⊥BC于點F，∠CAD=45°，EF交BD于點P，BP=，則BC的長為_______．

Answer 1

【答案】4

【解析】

過點E作EM∥AD，由△ABO是等腰三角形，根據(jù)三線合一可知點E是AO的中點，可證得EM=AD=BC，根據(jù)已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，從而得∠BEF=45°，△BEF為等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=BC，因此可證明△BFP≌△MEP（AAS），則EP=FP=FC，在Rt△BFP中，利用勾股定理可求得x，即得答案．

過點E作EM∥AD，交BD于M，設(shè)EM=x，

∵AB=OB，BE平分∠ABO，

∴△ABO是等腰三角形，點E是AO的中點，BE⊥AO，∠BEO=90°，

∴EM是△AOD的中位線，

又∵ABCD是平行四邊形，

∴BC=AD=2EM=2x，

∵EF⊥BC， ∠CAD=45°，AD∥BC，

∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，

∴△EFC為等腰直角三角形，

∴EF=FC，∠FEC=45°，

∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，

則△BEF為等腰直角三角形，

∴BF=EF=FC=BC=x，

∵EM∥BF，

∴∠EMP=∠FBP，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF，

則△BFP≌△MEP（ASA），

∴EP=FP=EF=FC=x，

∴在Rt△BFP中，，

即：，

解得：，

∴BC=2=4，

故答案為：4．