Question

7．如果三角形三邊的長a、b、c滿足$\frac{a+b+c}{3}$=b，那么我們就把這樣的三角形叫做“勻稱三角形”，如：三邊長分別為1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“勻稱三角形”．
（1）如圖1，已知兩條線段的長分別為a、c（a＜c）．用直尺和圓規(guī)作一個最短邊、最長邊的長分別為a、c的“勻稱三角形”（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）如圖2，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AB延長線于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，若$\frac{BE}{CF}=\frac{5}{3}$，判斷△AEF是否為“勻稱三角形”？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的圖形，本題得以解決；
（2）根據(jù)“勻稱三角形”的定義，由題目中信息的，利用切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的全等以及勾股定理可以判斷△AEF是否為“勻稱三角形”．

解答 解：（1）所求圖形，如右圖1所示，
（2）△AEF是“勻稱三角形”，
理由：連接AD、OD，如右圖2所示，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，
∴OD∥AC，
∵DF切⊙O于點(diǎn)D，
∴OD⊥DF，
∴EF⊥AF，
過點(diǎn)B作BG⊥EF于點(diǎn)G，
∵∠BGD=∠CFD=90°，∠BDG=∠CDF，BD=CD，
∴△BGD≌△CFD（ASA），
∴BG=CF，
∵$\frac{BE}{CF}=\frac{5}{3}$，
∴$\frac{BE}{BG}=\frac{5}{3}$，
∵BG∥AF，
∴$\frac{BE}{BG}=\frac{AE}{AF}=\frac{5}{3}$，
在Rt△AEF中，設(shè)AE=5k，AF=3k，由勾股定理得，EF=4k，
∴$\frac{AE+EF+AF}{3}=\frac{5k+4k+3k}{3}=4k=EF$，
∴△AEF是“勻稱三角形”．

點(diǎn)評 本題考查圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．