Question

5．在△ABC中，D、E、F分別為BC、AB、AC上的點(diǎn)．
（1）如圖1，若EF∥BC、DF∥AB，連CE、AD分別交DF、EF于N、M，且E為AB的中點(diǎn)，求證：EM=MF；
（2）如圖2，在（1）中，若E不是AB的中點(diǎn)，請寫出與MN平行的直線，并證明；
（3）若BD=DC，∠B=90°，且AE：AB：BC=1：3：2$\sqrt{3}$，AD與CE相交于點(diǎn)Q，直接寫出tan∠CQD的值．

Answer 1

分析 （1）先證明BD=DC，再證明EM、MF分別是△ABD，△ADC的中位線即可．
（2）結(jié)論：MN∥AC，只要證明$\frac{EM}{MF}$=$\frac{EN}{NC}$即可．
（3）如圖3中，作DN∥AB交CE于N，CM⊥AD交AD的延長線于M，不妨設(shè)AE=a．則AB=3a，EB=2a．BC=2$\sqrt{3}$a，BD=DC=$\sqrt{3}$a，由tan∠BAD═$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，推出∠BAD=30°，∠DCM=30°，再證明△AEQ≌△DNQ，得AQ=QD，求出QD即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵AE=EB，EF∥AC，
∴AF=FC，AM=MD，∵FD∥AB，
∴BD=CD，
∴EM=$\frac{1}{2}$BD，MF=$\frac{1}{2}$CD，
∴EM=MF．

（2）結(jié)論：MN∥AC．
證明：如圖2中，

∵AE∥DF，
∴$\frac{EM}{MF}$=$\frac{AM}{DM}$，
∵M(jìn)F∥BC，
∴$\frac{AM}{DM}$=$\frac{AF}{FC}$，
∵FN∥AE，
∴$\frac{AF}{FC}$=$\frac{EN}{NC}$，
∴$\frac{EM}{MF}$=$\frac{EN}{NC}$，
∴MN∥CF．

（3）如圖3中，作DN∥AB交CE于N，CM⊥AD交AD的延長線于M．

∵AE：AB：BC=1：3：2$\sqrt{3}$，
不妨設(shè)AE=a．則AB=3a，EB=2a．BC=2$\sqrt{3}$a，BD=DC=$\sqrt{3}$a，
∴tan∠BAD═$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAD=30°，∠ADB=∠CDM=60°，
∴∠DCM=30°，
∴DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，CM=$\frac{3}{2}$a，'
∵BD=DC，DN∥EB，
∴EN=NC，
∴DN=$\frac{1}{2}$EB=a=AE，
∵AE∥DN，
∴∠EAQ=∠NDQ，
在△AEQ和△DNQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAQ=∠QDN}\\{∠EQA=∠DQN}\\{AE=DN}\end{array}\right.$，
∴△AEQ≌△DNQ，
∴AQ=QD，
∵AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{（3a）^{2}+（\sqrt{3}a）^{2}}$=2$\sqrt{3}$a，
∴DQ=$\sqrt{3}$a，QM=DQ+DM=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$a，
∴tan∠CQD=$\frac{CM}{QM}$=$\frac{\frac{3}{2}a}{\frac{3\sqrt{3}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查三角形綜合題、平行線分線段成比例定理、三角形的中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用比例式證明兩條直線平行，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題，屬于中考壓軸題．