Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，點(diǎn)D為AC邊上的動點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CA往A運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動點(diǎn)A時(shí)停止，若設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動的時(shí)間為t秒，點(diǎn)D運(yùn)動的速度為每秒2個(gè)單位長度．

（1）當(dāng)t=2時(shí)，CD=　 ，AD=　 　；（請直接寫出答案）

（2）當(dāng)t=　 　時(shí)，△CBD是直角三角形；（請直接寫出答案）

（3）求當(dāng)t為何值時(shí)，△CBD是等腰三角形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4，21；（2）4.5或12.5秒；（3）t=6.25或7.5或9秒時(shí)，△CBD是等腰三角形．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)CD=速度×時(shí)間列式計(jì)算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根據(jù)AD=AC-CD代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；（2）分①∠CDB=90°時(shí)，利用△ABC的面積列式計(jì)算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根據(jù)時(shí)間=路程÷速度計(jì)算；②∠CBD=90°時(shí)，點(diǎn)D和點(diǎn)A重合，然后根據(jù)時(shí)間=路程÷速度計(jì)算即可得解；（3）分①CD=BD時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CE=BE，從而得到CD=AD；②CD=BC時(shí)，CD=6；③BD=BC時(shí)，過點(diǎn)B作BF⊥AC于F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CD=2CF，再由（2）的結(jié)論解答．

試題解析：(1)t=2時(shí)，CD=2×2=4，

∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，

∴AC==25，

AD=ACCD=254=21；

(2)①∠CDB=90°時(shí),S△ABC=ACBD=ABBC，

即×25BD=×20×15，

解得BD=12，

所以CD==9，

t=9÷2=4.5(秒)；

②∠CBD=90°時(shí)，點(diǎn)D和點(diǎn)A重合，

t=25÷2=12.5(秒)，

綜上所述，t=4.5或12.5秒；

故答案為：（1）4，21；（2）4.5或12.5秒；

（3）①CD=BD時(shí)，如圖1，

過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，

則CE=BE，

CD=AD=AC=×25=12.5，（或利用余角的性質(zhì)說明CD=BD=AD）

t=12.5÷2=6.25；

②CD=BC時(shí)，CD=15，t=15÷2=7.5；

③BD=BC時(shí)，如圖2，

過點(diǎn)B作BF⊥AC于F，

則CF=9，

CD=2CF=9×2=18，

t=18÷2=9，

綜上所述，t=6.25或7.5或9秒時(shí)，△CBD是等腰三角形．