Question

二次函數(shù)y=-

1

2

x2+

3

2

x+m-2的圖象與x軸交于A、兩點（點A在點B左邊），與y軸交于C點，且∠ACB=90°．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)計兩種方案：作一條與y軸不重合，與△A BC兩邊相交的直線，使截得的三角形與△ABC相似，并且面積為△BOC面積的

1

4

，寫出所截得的三角形三個頂點的坐標（注：設(shè)計的方案不必證明）．

Answer 1

分析：（1）A、B、C三點坐標可用m的代數(shù)式表示，利用相似三角形性質(zhì)建立含m的方程；
（2）通過特殊點，構(gòu)造相似三角形基本圖形，確定設(shè)計方案．

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，0），B（X₂，0），則x₁x₂=-2（m-2），OA=-X₁，OB=x₂，
又C（0，m-2），則OC=m-2，
由△AOC∽△COB，得OC²=OA•OB=-x₁x₂，
即（m-2）²=2（m-2），又m-2＞0，
∴m=4，得y=-

1

2

x2-

3

2

x+ 2；

（2）方案一：分別取OB，BC的中點O₁，C₁，連接O₁C₁，
可得△BO₁C₁三個頂點的坐標，B（4，0），O₁（2，0），C₁（2，1）
方案二：在AB上取AB₂=AC=

5

，在AC上取AO₂=AO=1，作直線O₂B₂，
可得△B₂O₂A三個頂點的坐標，B2(

5

-1，0)，O2(-1+

5

5

，

2 5

5

)，A（-1，0）．

點評：此題主要考查了解函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題，善于求點的坐標，進而求出函數(shù)解析式是解題的基礎(chǔ)；而充分發(fā)揮形的因素，數(shù)形互助，把證明與計算相結(jié)合是解題的關(guān)鍵．