Question

20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B左邊），與y軸交于點C，⊙M是△ABC的外接圓．
如圖1，若拋物線的頂點D的坐標(biāo)為（1，4）
（1）求拋物線的解析式，及A、B、C三點的坐標(biāo)；
（2）求⊙M的半徑和圓心M的坐標(biāo)．
（3）如圖2，在x軸上有點P（7，0），試在直線BC上找點Q，使B、Q、P三點構(gòu)成的三角形與△ABC相似．若存在，請求出Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（4）向上平移拋物線y=-x²+bx+c，在平移過程中，拋物線與x軸交于A′、B′兩點，與y軸交于點C′，則△A′B′C′的外接圓⊙M′是否經(jīng)過一個定點？若是，請求出這個點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由頂點坐標(biāo)公式直接求出b、c的值；
（2）由于△ABC的三邊長易求，面積可知，于聯(lián)想到希帕霍斯公式S=$\frac{abc}{4R}$，從而直接求出外接圓半徑，進(jìn)而求出圓心M的坐標(biāo)；
（3）分兩種情況：①則△ACB∽△PQB；②△ACB∽△QPB．對于第一種情況，過P作AC的平行線即可得Q點，對于第二種情況，A、C、P、Q四點共圓，由相交弦定理求出BQ的長度，然后求出Q點坐標(biāo)．
（4）拋物線的上下平移只改變截距，故設(shè)出平移后的拋物線解析式的截距，然后可表示出A'，B'，C'的坐標(biāo)，設(shè)外接圓與y軸的負(fù)半軸交于點E，由相交弦定理求出OE長度為定值，即E點就是所求定點．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c的頂點D的坐標(biāo)為（1，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-b}{-2}=1}\\{\frac{-4c-^{2}}{-4}=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-x²+2x+3=-（x+1）（x-3），
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；
（2）連接BC和MB，作MH⊥AB于H，如圖1，

則AB=3-（-1）=4，OC=3，AC=$\sqrt{10}$，BC=3$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AB•OC=6$，
設(shè)AB=c，BC=a，AC=b，⊙M的半徑為R，則由希帕霍斯定理可知：
${S}_{△ABC}=\frac{abc}{4R}$，
∴R=$\frac{abc}{4{S}_{△ABC}}$=$\sqrt{5}$，
∴MB=R=$\sqrt{5}$，
∵M(jìn)H⊥AB，
∴BH=AH=$\frac{1}{2}AB$=2，
∴MH=$\sqrt{M{B}^{2}-B{H}^{2}}$=1，
∴M（1，1）；
（3）①過點P作PQ₁∥AC交CB的延長線于點Q1，如圖2，

則△ACB∽△PQ₁B，
由A、C兩點坐標(biāo)可求得直線AC的解析式為y=3x+3，
設(shè)直線PQ₁的解析式為y=3x+m，
將P點坐標(biāo)（7，0）代入可求得m=-21，
∴PQ₁的解析式為y=3x-21，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-21}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴Q₁（6，-3）；
②作∠BPQ₂=∠ACB交CB的延長線于點Q₂，則：
△ACB∽△Q₂PB，且A、C、P、Q₂四點共圓，
由相交弦定理可知：AB•BP=CB•BQ₂，
∵AB=4，BC=3$\sqrt{2}$，BP=4，
∴BQ₂=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
作Q₂N⊥BP于N，
∵OC=OB，
∴BN=NQ₂=$\frac{8}{3}$，
∴ON=OB+BN=$\frac{17}{3}$，
∴Q₂（$\frac{17}{3}$，-$\frac{8}{3}$），
綜上所述，滿足要求的Q點坐標(biāo)為Q₁（6，-3），Q₂（$\frac{17}{3}$，-$\frac{8}{3}$）；
（4）設(shè)平移后的拋物線解析式為y=-x²+2x+n，（n＞3），則C'（0，n），
令-x²+2x+n=0，則x=$1±\sqrt{1+n}$，
∴A'（1-$\sqrt{1+n}$），B'（1+$\sqrt{1+n}$），
設(shè)△A′B′C′的外接圓⊙M′與y軸的負(fù)半軸的交點為E（0，h），
由相交弦定理可知：OC'•OE=OA'•OB'，
∴OE=$\frac{OA'•OB'}{OC'}$=$\frac{（\sqrt{1+n}-1）（\sqrt{1+n}+1）}{n}$=1，
∴E（0，-1），
∴△A′B′C′的外接圓⊙M′始終經(jīng)過一個定點E（0，-1）．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式、等面積法、希帕霍斯公式、垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、相交弦定理、解二元一次方程組、解一元二次方程等眾多知識點，綜合性強(qiáng)，難度較大，是一道經(jīng)典中考壓軸題．對于（2）問，利用希帕霍斯定理求出外接圓半徑是關(guān)鍵，對于（3）問，分類討論及相交弦定理的應(yīng)用是解答要點，對于（4）問，利用相交弦定理計算出外接圓與y軸負(fù)半軸的交點是難點所在．