Question

14．如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與y軸交于點A，與x軸交于點B，且∠BAO=30°，現(xiàn)將△OAB沿直線AB翻折，得到△CAB．連接OC交AB于點D．
（1）求證：AD⊥OC，OD=$\frac{1}{2}$OA；
（2）若Rt△AOB的斜邊AB=4$\sqrt{3}$，則OB=2$\sqrt{3}$；OA=6；點C的坐標為（$3\sqrt{3}$，3）；
（3）在（2）的條件下，動點F從點O出發(fā)，以2個單位長度/秒的速度沿折線O-A-C向終點C運動，設△FOB的面積為S（S＞0），點F的運動時間為t秒，求S與t的關系式，并直接寫出t的取值范圍；
（4）在（3）的條件下，過點B作BE⊥x軸，交AC于點E，在動點F的運動過程中，當t為何值時，△BEF是以BE為腰的等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質和等邊三角形的判定得到△OAC是等邊三角形；結合等邊三角形的“三線合一”的性質證得結論；
（2）如圖1，過C點作CH⊥x軸于H點，在直角△OCH中，利用三角函數(shù)求得CH和OH，則C的坐標即可求得；
（3）分成當0＜t≤3和3＜t≤6兩種情況，利用三角形的面積公式即可求解；
（4）分成B是頂角頂點和E是頂角頂點兩種情況進行討論．

解答 解：（1）由折疊得性質得：
CA=OA，CB=OB，∠BAC=∠BAO=30°，∠ACB=∠AOB=90°，
∴∠OAC=60°，
∴△OAC是等邊三角形，
∴OC=OA，
∵∠DAC=∠DAO，
∴AD⊥OC且OD=$\frac{1}{2}$OC；
∴AD⊥OC且OD=$\frac{1}{2}$OA；                               

（2）如圖1，在直角△AOB中，∵∠BAO=30°，AB=4$\sqrt{3}$，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=6．
過C點作CH⊥x軸于H點．
由（1）知，△OAC是等邊三角形
∴∠BCH=30°
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，OH=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
∵OC=OA=6，∠，COH=30°
∴CH=$\frac{1}{2}$×6=3．
∴C（3 $\sqrt{3}$，3）；
綜上所述，OB=$2\sqrt{3}$； OA=6；  C（$3\sqrt{3}$，3）．
故答案是：2$\sqrt{3}$；6；（$3\sqrt{3}$，3）．
                      

（3）分兩種情況討論：
①當0＜t≤3時，如圖2，OF=2t，$S=\frac{1}{2}×OB×OF=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2t=2\sqrt{3}t$；  
②當3＜t≤6時，如圖3，AF=2t-6，過點F作FG⊥OA于G，
則  $AG=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}（{2t-6}）=t-3$，OG=OA-AG=6-（t-3）=9-t，$S=\frac{1}{2}×OB×OG=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×（{9-t}）=9\sqrt{3}-\sqrt{3}t$；             
（0＜t≤3）（3＜t≤6）
綜上所述：$S=\left\{{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}t}\\{9\sqrt{3}-\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$（沒寫的不扣分）

（4）分兩種情況討論：
①當腰BE=BF時，如圖4，
∵BE∥OA，
∴∠ABE=∠OAB=30°，
∴∠EBA=∠EAB=30°，
∴BE=AE 且∠EBC=60°-30°=30°，
∵在Rt△BOF和Rt△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=BE}\\{BO=BC}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△BCE，（HL）
∴OF=CE 且∠FBO=∠EBC=30°，
∴∠EBF=120°-30°-30°=60°，
∴此時△BEF為等邊三角形．BF=AF，
在Rt△FBO 中，∵∠FBO=30°，
∴FO=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$AF，
∴AF=2 FO．
∴AO=3FO．
∴3FO=6，
∴FO=2，
∴2t=2，
∴此時t=1．
②當腰BE=FE時，由上可知，點F使得△BEF為等邊三角形 或 點F運動與A點重合，
則 2t=2，或者  2t=6，
∴此時 t=1或 t=3； 
綜上所述，當t=1或3時，△BEF是以BE為腰的等腰三角形．

點評 本題考查了幾何變換綜合題，其中涉及到了圖形的折疊，以及等邊三角形的判定與性質等知識點，正確對P的位置以及等腰△BEF進行討論是關鍵．