Question

請閱讀下列材料?：
問題：如圖1，在等邊三角形ABC內有一點P，且PA=2，PB=

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，PC=1．求∠BPC度數的大小和等邊三角形ABC的邊長．
李明同學的思路是：將△BPC繞點B順時針旋轉60°，畫出旋轉后的圖形（如圖2）．連接PP′，可得△P′PB是等邊三角形（可證），而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證）．所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°．進而把AB放在Rt△APB（可證得）中，用勾股定理求出等邊△ABC的邊長為

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．問題得到解決．?
[思路分析]首先仔細閱讀材料，問題中小明的做法總結起來就是通過旋轉固定的角度將已知條件放在同一個（組）圖形中進行研究．旋轉60度以后BP就成了BP′，PC成了P′A，借助等量關系BP′=PP′，于是△APP′就可以計算了．
解決問題：
請你參考李明同學旋轉的思路，探究并解決下列問題：
如圖3，在正方形ABCD內有一點P，且PA=

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，BP=

2

，PC=1．求∠BPC度數的大小和正方形ABCD的邊長．

Answer 1

分析：首先根據旋轉的性質得出△BPC≌△BP′A，利用AP′=PC=1，BP=BP′=

2

得出△AP′P是直角三角形，再利用過點B作BE⊥AP′交AP′的延長線于點E，利用勾股定理得出AB的長．

解答：解：如圖3，
將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得△BP′A，
則△BPC≌△BP′A．
∴AP′=PC=1，BP=BP′=

2

．
連結P P′，
在Rt△BP′P中，
∵BP=BP′=

2

，∠PBP′=90°，
∴P P′=2，∠BP′P=45°．
在△AP′P中，AP′=1，P P′=2，AP=

5

，
∵1²+2²=（

5

）²，
即AP′²+PP′²=AP²．
∴△AP′P是直角三角形，即∠A P′P=90°．
∴∠AP′B=135°．
∴∠BPC=∠AP′B=135°．
如圖3，過點B作BE⊥AP′交AP′的延長線于點E．
∴∠EP′B=45°．∴EP′=BE=1．∴AE=2．
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=

5

．
∴∠BPC=135°，正方形邊長為

5

．

點評：此題主要考查了旋轉的性質以及勾股定理與逆定理等知識，根據已知的點的坐標△AP′P是直角三角形是解題關鍵．