Question

【題目】（背景）某班在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，對(duì)矩形紙片進(jìn)行折疊實(shí)踐操作，并將其產(chǎn)生的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行相關(guān)探究． （操作）如圖，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，現(xiàn)將△APB沿AP對(duì)折，得△APM，顯然點(diǎn)M位置隨P點(diǎn)位置變化而發(fā)生改變
（問題）試求下列幾種情況下：點(diǎn)M到直線CD的距離

（1）∠APB=75°；
（2）P與C重合；
（3）P是BC的中點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)∠APB=75°時(shí)，如圖1，過M作EF⊥AD，則EF⊥BC，

∵∠AMP=∠B=∠MFP=90°，

∴∠AME=∠MPF，

∴△AEM∽△MFP，

∵∠APB=75°，

∴∠MPF=30°，

∵AM=AB=4，

∴AE=2，

∴DE=4

（2）解：當(dāng)P與C重合，如圖2，過M作GH∥AD交BA，CD的延長線于G，H，

則四邊形ADHG是矩形，

∵∠AMP=∠ABC=∠AMC=90°，

∴∠AMG=∠MPH，

∴△AMG∽△MHP，

設(shè)AG=x，則DH=x，

∴PH=4+x，

∴ ，

∴MH= x，

在Rt△MHP中，MH2+PH2=MC2，

即（ x）2+（4x）2=62，

∴x= （負(fù)值舍去），

∴MH=

（3）解：當(dāng)P是BC的中點(diǎn)時(shí)，如圖3，過M作EF∥AB交AB，BC于E，F(xiàn)，

∵P是BC的中點(diǎn)，

∴BP=3，

設(shè)PF=x，則BF=3+x，

∴AE=3+x，

由折疊的性質(zhì)得，AM=AB=4，PM=PB=3，∠AMP=∠B=90°，

∴△AEM∽△MFP，

∴ ，

∴EM= x，

在Rt△AEM中，

AE2+EM2=AM2，

即（ x）2+（3+x）2=42，

∴x= （負(fù)值舍去），

∴DE= ．

【解析】（1）如圖1，過M作EF⊥AD，則EF⊥BC，由∠AMP=∠B=∠MFP=90°，得到∠AME=∠MPF，推出△AEM∽△MFP，根據(jù)已知條件得到∠MPF=30°，AE=2，即可得到結(jié)論；（2）如圖2，過M作GH∥AD交BA，CD的延長線于G，H，則四邊形ADHG是矩形，推出△AMG∽△MHP，設(shè)AG=x，則DH=x，得到PH=4+x，列比例式得到MH= x，根據(jù)勾股定理得到x= （負(fù)值舍去），即可得到結(jié)論；（3）當(dāng)P是BC的中點(diǎn)時(shí)，如圖3，過M作EF∥AB交AB，BC于E，F(xiàn)，推出△AEM∽△MFP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，得到EM= x，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用翻折變換（折疊問題）的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和角相等．