Question

14．如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，垂足為點(diǎn)O．
（1）連接AF，CE，求證：四邊形AFCE為菱形；
（2）求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AD∥BC，求出∠AEO=∠CFO，根據(jù)全等三角形的判定得出△AEO≌△CFO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出OE=OF，根據(jù)菱形的判定推出即可；
（2）設(shè)AF=acm，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AF=CF=acm，在Rt△ABF中，由勾股定理得出4²+（8-a）²=a²，求出a即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵AC的垂直平分線EF，
∴AO=OC，AC⊥EF，
在△AEO和△CFO中
∵$\left\{\begin{array}{l}∠AEO=∠CFO\\∠AOE=∠COF\\ AO=OC\end{array}\right.$
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE=OF，
∵O A=OC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AC⊥EF，
∴平行四邊形AECF是菱形；

（2）解：設(shè)AF=acm，
∵四邊形AECF是菱形，
∴AF=CF=acm，
∵BC=8cm，
∴BF=（8-a）cm，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：4²+（8-a）²=a²，
解得：a=5，
即AF=5cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．