Question

18．AB為⊙O的直徑，點(diǎn)P在⊙O外，PC、PD分別切⊙O于點(diǎn)C、D，連接OC、OD．
（1）如圖1，求證：∠P+∠COD=180°；
（2）如圖2，連接AD、BC、AD交BC于點(diǎn)E，求證：∠AEC=$\frac{1}{2}$∠P；
（3）如圖3，在（2）的條件下，延長PC、交BA的延長線于點(diǎn)H，設(shè)OC與AD的交點(diǎn)為F，OD與BC的交點(diǎn)為G，若PC+PD=AB，CH=2CF，OF=4，求線段OG的長．

Answer 1

分析 （1）直接利用切線的性質(zhì)得出OC⊥PC，OD⊥PD，進(jìn)而利用四邊形內(nèi)角和定理得出答案；
（2）利用圓周角定理結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)得出答案；
（3）首選利用正方形的判定與性質(zhì)得出∠PCO=∠COD=90°，進(jìn)而得出△COK≌△ODF（AAS），再利用勾股定理以及平行線的性質(zhì)得出OG的長．

解答 （1）證明：∵PC、PD分別切⊙O于點(diǎn)C、D，
∴OC⊥PC，OD⊥PD，
∴∠PCO=∠PDO90°，
∴∠P+∠COD=360°-90°-90°=180°；

（2）證明：∵∠B=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠A=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠AEC=∠A+∠B=$\frac{1}{2}∠AOC+\frac{1}{2}∠BOD$，
=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOD），
=$\frac{1}{2}$（180°-∠COD），
=$\frac{1}{2}$∠P；

（3）解：∵PC、PD分別切⊙O于點(diǎn)C、D，
∴PC=PD，
∵PC+PD=2AB，
∴CO=DO=AO=CO=DO，
∴四邊形PCOD是菱形，
∴∠P=∠COD，OD∥PH，
∴∠P=∠COD=90°，
∴四邊形PCOD是正方形，
∴∠PCO=∠COD=90°，
如圖3，過O作OK⊥AD交PC于點(diǎn)，
∴∠HKO+∠COK=90°，∠DFO+∠COK=90°，
∴∠HKO=∠DFO，
在△COK和△ODF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OKC=∠DFO}\\{∠KCO=∠OD}\\{CO=DO}\end{array}\right.$，
∴△COK≌△ODF（AAS），
∴CK=OF=4，
∵∠DFO+∠ODF=90°，
∴∠COK=∠ODF+∠OAD，
∵∠DFO=∠OAD+∠AOC=∠COK+∠AOC=∠AOK，
∴AK=AO，
設(shè)CF=x，則CH=2x，
∴HO=HK=2x+4，
在Rt△OCH中，（x+4）²+（2x）²=（2x+4）²，
解得：x=0或x=8，
∴CH=16，BO=OC=4+8=12，HO=HK=20，
∵DO∥HP，
∴$\frac{BO}{HB}$=$\frac{OG}{CH}$，
即：$\frac{12}{32}$=$\frac{GO}{16}$，
∴OG=6．

點(diǎn)評 此題主要考查了圓的綜合以及全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形的判定與性質(zhì)等知識，正確得出FC的長是解題關(guān)鍵．