Question

10．四邊形ABCD內接于⊙O，AC為其中一條對角線，且S_△ABC：S_△ADC=AB：AD．
（1）如圖1，求證：BC=CD；
（2）如圖2：連接OC，交對角線BD于點E，若∠BAD=60°，求證：OE=EC；
（3）如圖3，在（2）的條件下，過點D作DF⊥AC于點F，連接FO并延長FO，交AB邊于點G，若FG⊥AB，OC=$\sqrt{21}$，求△OFC的面積．

Answer 1

分析 （1）首先利用已知得出CL=CK，再結合全等三角形的判定方法得出△CKB≌△CLD（AAS），進而得出答案；
（2）首先得出△OBC是等邊三角形，進而得出答案；
（3）利用已知首先得出△AMD是等邊三角形，進而得出BG，EF的長，再利用S_△OEF=$\frac{1}{2}$OF•EF進而得出答案．

解答 （1）證明：過C作CK⊥AB于點K，過C作CL⊥AD于點L，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CK，S_△ADC=$\frac{1}{2}$AD•CL，
∵S_△ABC：S_△ADC=AB：AD．
∴CL=CK，
∵∠B+∠ADC=180°，∠CDL+∠ADC=180°，
∴∠B=∠CDL，
∵∠CKB=∠L=90°，
在△CKB和△CLD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠CDL}\\{∠BKC=∠CLD}\\{KC=LC}\end{array}\right.$，
∴△CKB≌△CLD（AAS），
∴BC=CD．

（2）證明：如圖2，連接OB、OD，
∵BC=CD，
∴∠BOC=∠DOC
∵OB=OD，
∴OE⊥BD，
∵∠BAD=60°，
∴∠BOC=∠DOC=60°，
∴△OBC是等邊三角形，
∴OB=BC，
∴OE=EC；

（3）解：如圖3，延長DF交AB于點M，連接OB，
∵∠BAD=60°，
∴∠BAC=∠CAD=30°，
∵AF⊥DF，
∴∠AFM=∠AFD=90°，
∴∠AMD=∠ADM=60°，
∴△AMD是等邊三角形，
設MG=a，則MF=2a，AM=AD=MD=4a，GF=$\sqrt{3}$a，
∴AG=BG=3a，∴BM=2a
∵E、F分別是BD、MD中點，∴EF=a，EF∥AB
過B作BN⊥MD，則MN=a，BN=$\sqrt{3}$a，∴DN=5a，
∵BD=$\sqrt{3}$OC，∴BD=3$\sqrt{7}$
在Rt△BND中，（$\sqrt{3}$a）²+（5a）²=（3$\sqrt{7}$）²
解得a=$\frac{3}{2}$，
∴BG=$\frac{9}{2}$，EF=$\frac{3}{2}$，
在Rt△OGB中，OG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OF=$\sqrt{3}$，
∵EF∥AB，
∴∠EFO=∠AGF=90°
∴S_△OEF=$\frac{1}{2}$OF•EF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
∵OE=EC，
∴S_△OFC=2 S_△OEF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 此題主要考查了圓的綜合以及全等三角形的判定與性質和等邊三角形的判定與性質等知識，正確得出MN的長是解題關鍵．