【題目】已知拋物線y=x2﹣2mx+m2+m﹣1(m是常數(shù))的頂點(diǎn)為P,直線:y=x﹣1

(1)求證:點(diǎn)P在直線上;

(2)當(dāng)m=﹣3時(shí),拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,M是x軸下方拋物線上的一點(diǎn),∠ACM=∠PAQ(如圖),求點(diǎn)M的坐標(biāo);

(3)若以拋物線和直線的兩個(gè)交點(diǎn)及坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的m的值.

【答案】(1)證明見解析;(2)(﹣4,﹣3);(3)m的值為0, , , ,

【解析】分析:(1)利用配方法得到y=(x-m)+m-1,點(diǎn)P(m,m-1),然后根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷點(diǎn)P在直線l上;(2)當(dāng)m= -3時(shí),拋物線解析式為y=x+6x+5,根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題求出A(-5,0),易得C(0,5),通過解方程組 P(-3,-4),Q(-2,-3),作MEy軸于E,PFx軸于F,QGx軸于G,如圖,證明RtCMERtPAF,利用相似得,設(shè)M(x,x+6x+5),則,解得=0(舍去),= -4,于是得到點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-4,-3);(3)通過解方程組

P(m,m-1),Q(m+1,m),利用兩點(diǎn)間的距離公式得到PQ=2,OQ=2m+2m+1,OP=2m-2m+1,然后分類討論:當(dāng)PQ=OQ時(shí),2m+2m+1=2;當(dāng)PQ=OP時(shí),2m-2m+1=2;當(dāng)OP=OQ時(shí),2m+2m+1=2m-2m+1,再分別解關(guān)于m的方程求出m即可.

本題解析:

(1)證明:∵y=x2﹣2mx+m2+m﹣1=(x﹣m)2+m﹣1,

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,m﹣1),

∵當(dāng)x=m時(shí),y=x﹣1=m﹣1,

∴點(diǎn)P在直線l上;

(2)解:當(dāng)m=﹣3時(shí),拋物線解析式為y=x2+6x+5,

當(dāng)y=0時(shí),x2+6x+5=0,解得x1=﹣1,x2=﹣5,則A(﹣5,0),

當(dāng)x=0時(shí),y=x2+6x+5=5,則C(0,5),

可得解方程組,解得,

則P(﹣3,﹣4),Q(﹣2,﹣3),

作ME⊥y軸于E,PF⊥x軸于F,QG⊥x軸于G,如圖,

∵OA=OC=5,

∴△OAC為等腰直角三角形,

∴∠ACO=45°,

∴∠MCE=45°﹣∠ACM,

∵QG=3,OG=2,

∴AG=OA﹣OG=3=QG,

∴△AQG為等腰直角三角形,

∴∠QAG=45°,

∵∠APF=90°﹣∠PAF=90°﹣(∠PAQ+45°)=45°﹣∠PAQ,

∵∠ACM=∠PAQ,

∴∠APF=∠MCE,

∴Rt△CME∽R(shí)t△PAF,

,

設(shè)M(x,x2+6x+5),

∴ME=﹣x,CE=5﹣(x2+6x+5)=﹣x2﹣6x,

整理得x2+4x=0,解得x1=0(舍去),x2=﹣4,

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣4,﹣3);

(3)解:解方程組,則P(m,m﹣1),Q(m+1,m),

∴PQ2=(m+1﹣m)2+(m﹣m+1)2=2,OQ2=(m+1)2+m2=2m2+2m+1,OP2=m2+(m﹣1)2=2m2﹣2m+1,

當(dāng)PQ=OQ時(shí),2m2+2m+1=2,解得m1=,m2=;

當(dāng)PQ=OP時(shí),2m2﹣2m+1=2,解得m1=,m2=

當(dāng)OP=OQ時(shí),2m2+2m+1=2m2﹣2m+1,解得m=0,

綜上所述,m的值為0, , ,

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線 成軸對(duì)稱的△A ;
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