Question

14．如圖，在等邊△ABC內(nèi)有一點D，AD=5，BD=6，CD=4，將△ABD繞A點逆時
針旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，點D旋轉(zhuǎn)至點E，過E點作EH⊥CD于H，則EH的長為$\frac{15\sqrt{7}}{8}$．

Answer 1

分析 先利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠BAC=60°，AB=AC，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∴∠DAE=∠BAC=60°，AD=AE=5，CE=BD=6，則可判斷△ADE為等邊三角形得到DE=AD=5，設(shè)DH=x，則CH=CD-DH=4-x，于是根據(jù)勾股定理得到EH²+x²=5²①，EH²+（4-x）²=6²②，然后利用加減消元法先求出x，再計算EH即可．

解答 解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵將△ABD繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，點D旋轉(zhuǎn)至點E，
∴∠DAE=∠BAC=60°，AD=AE=5，CE=BD=6，
∴△ADE為等邊三角形，
∴DE=AD=5，
設(shè)DH=x，則CH=CD-DH=4-x，
在Rt△DHE中，EH²+x²=5²，①
在Rt△CHE中，EH²+（4-x）²=6²，②
②-①得16-8x=11，解得x=$\frac{5}{8}$，
∴EH=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{5}{8}）^{2}}$=$\frac{15\sqrt{7}}{8}$．
故答案為$\frac{{15\sqrt{7}}}{8}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．