Question

3．如圖，平行四邊形ABCD中，P是AD上一點(diǎn)，E為BP上一點(diǎn)，且AE=BE=EP，
（1）求證：四邊形ABCD為矩形；
（2）過(guò)E作EF⊥BP于E，交BC于F，若BP=BC，S_△BEF=5，CD=4，求CF．

Answer 1

分析 （1）只要證明$∠\\;\\;\\;BAD=90°$BAD=90°即可．
（2）連接PF，作PM⊥BC于M，EN⊥BC于N，先證明四邊形PMCD是矩形，同理四邊形ABMP是矩形，再求出BF、FM，在RT△ABP中，求出BP即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵AE=BE=EP，
∴∠EAB=∠EBA，∠EAD=∠EPA，
∵∠ABE+∠EAB+∠EAP+∠APE=180°，
2∠EAB+2∠EAP=180°，
∴∠EAB+∠EAP=90°，
∴∠BAD=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是矩形．

（2）如圖連接PF，作PM⊥BC于M，EN⊥BC于N．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=∠PMC=90°，
∴四邊形PMCD是矩形，同理四邊形ABMP是矩形，
∴PM=CD=4，∠PMC=∠PMF=90°，
∵BE=EP，EN∥PM．，
∴BN=NM，
∴EN=$\frac{1}{2}$PM=2，
∵$\frac{1}{2}$•BF•EN=5，
∴BF=5，
∵EF⊥BP，BE=EP，
∴PF=BF=5，
∴FM=$\sqrt{P{F}^{2}-P{M}^{2}}$=3，
∴AP=BM=8，
∴BC=BP=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴CF=BC-BF=4$\sqrt{5}$-5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．