Question

如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是AB邊上一點，G是AD延長線上一點，BE=DG，連接EG，CF⊥EG交EG于點H，交AD于點F，連接CE，BH．若BH=8，則FG=　　．

Answer 1

5【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；正方形的性質；相似三角形的判定與性質．

【專題】幾何圖形問題；壓軸題．

【分析】如解答圖，連接CG，首先證明△CGD≌△CEB，得到△GCE是等腰直角三角形；過點H作AB、BC的垂線，垂足分別為點M、N，進而證明△HEM≌△HCN，得到四邊形MBNH為正方形，由此求出CH、HN、CN的長度；最后利用相似三角形Rt△HCN∽Rt△GFH，求出FG的長度．

【解答】解：如圖所示，連接CG．

在△CGD與△CEB中

∴△CGD≌△CEB（SAS），

∴CG=CE，∠GCD=∠ECB，

∴∠GCE=90°，即△GCE是等腰直角三角形．

又∵CH⊥GE，

∴CH=EH=GH．

過點H作AB、BC的垂線，垂足分別為點M、N，則∠MHN=90°，

又∵∠EHC=90°，

∴∠1=∠2，

∴∠HEM=∠HCN．

在△HEM與△HCN中，

∴△HEM≌△HCN（ASA）．

∴HM=HN，

∴四邊形MBNH為正方形．

∵BH=8，

∴BN=HN=4，

∴CN=BC﹣BN=6﹣4=2．

在Rt△HCN中，由勾股定理得：CH=2．

∴GH=CH=2．

∵HM∥AG，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3．

又∵∠HNC=∠GHF=90°，

∴Rt△HCN∽Rt△GFH．

∴，即，

∴FG=5．

故答案為：5．

【點評】本題是幾何綜合題，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知識點，難度較大．作出輔助線構造全等三角形與相似三角形，是解決本題的關鍵．