Question

【題目】實踐操作

如圖1，將矩形紙片沿對角線翻折，使點落在矩形所在平面內(nèi)，和相交于點，連接．

解決問題

（1）在圖1中，①和的位置關(guān)系為__________；②將剪下后展開，得到的圖形是_____；

（2）若圖1中的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅螘r，如圖2所示，結(jié)論①和結(jié)論②是否成立，若成立，請?zhí)暨x其中的一個結(jié)論加以證明，若不成立，請說明理由；

拓展應(yīng)用

（3）小紅沿對角線折疊一張矩形紙片，發(fā)現(xiàn)所得圖形是軸對稱圖形，沿對稱軸再次折疊后，得到的仍是軸對稱圖形，則小紅折疊的矩形紙片的長寬之比為_________．

Answer 1

【答案】（1）①；②菱形；（2）成立，證明見解析；（3）或

【解析】

（1）①利用AAS定理求證△≌△CDE，從而得到DE=，CE=AE，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行即可判斷；

②根據(jù)菱形的判定方法即可解決問題；

（2）只要證明AE=EC，即可證明結(jié)論②成立；只要證明∠ADB′=∠DAC，即可推出B′D∥AC；

（3）①當AB：AD=1：1時，符合題意．②當AD：AB=時，也符合題意

解：（1）①由折疊性質(zhì)可知：，

又∵

∴△≌△CDE

∴DE=，CE=AE，

∴，

又∵

∴

∴；

②由①可知AE=CE，又由折疊性質(zhì)可知

將剪下后展開，得到的圖形是四條邊都相等的四邊形，

又∵∠AEC為鈍角

∴將剪下后展開，得到的圖形是菱形；

故答案為：；菱形；

（2）若選擇①證明如下，

四邊形是平行四邊形，

，

將沿翻折至，

，

，

，

，

，

，

若選擇②證明如下：

四邊形是平行四邊形，

，

，

將沿翻折至，

，

，

，

是等腰三角形；

將剪下后展開，得到的圖形四邊相等，

將剪下后展開，得到的圖形是菱形．

（3）如圖中，

①當AB：AD=1：1時，四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠CAD=∠EAB′=45°，

∵AE=AE，∠B′=∠AFE=90°，

∴△AEB′≌△AEF（AAS），

∴AB′=AF，

此時四邊形AFEB′是軸對稱圖形，符合題意．
②當AD：AB=時，也符合題意，

∵此時∠DAC=30°，

∴AC=2CD，

∴AF=FC=CD=AB=AB′，

∴此時四邊形AFEB′是軸對稱圖形，符合題意．

綜上所述，滿足條件的矩形紙片的長寬之比為或．