Question

17．如圖，△ABC是Rt△，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于D，⊙O的半徑為5，$tanA=\frac{3}{4}$．
（1）利用尺規(guī)作圖，過點D作⊙O的切線DE，交BC于點E，保留作圖痕跡；
（2）求線段CD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，作∠BOD的平分線交BC于點E，連接DE，DE就是⊙O的切線．
（2）連接BD，只要證明△ABD～△ACB，得$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AB}{AC}$，求出AC即可解決問題．

解答 解：（1）如圖，連接OD，作∠BOD的平分線交BC于點E，連接DE，DE就是⊙O的切線．


（2）連接BD，

∵BD是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵$tanA=\frac{3}{4}$．AB=10，
∴AD=8，BD=6，
∵∠BAD=∠BAC，∠ABC=∠ADB=90°，
∴△ABD～△ACB
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴AC=$\frac{25}{2}$，
∴CD=AC-AD=$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查切線的性質、解直角三角形、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．