Question

【題目】如圖①，在等腰中，如圖①，在等腰中，，平分交于點(diǎn).點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)、重合），，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接、、．

（1）求證：；

（2）求的度數(shù)；

（3）探究線段、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠EAP=45°；（3）EC=PD．

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得CD是AB的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AP=BP；

（2）由∠ACE=∠APE=90°，可得點(diǎn)A，點(diǎn)P，點(diǎn)C，點(diǎn)E四點(diǎn)共圓，可得∠AEP=∠ACD=45°，即可求∠EAP的度數(shù)；

（3）過點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H，根據(jù)“AAS”可證△APD≌△PEH，可得EH=PD，根據(jù)勾股定理可求EC=EH，即可得EC=PD．

證明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，CD平分∠ACB，

∴CD⊥AB，AD=BD，∠ACD=∠BCD=∠CAD=∠DBC=45°，

∴CD是AB的垂直平分線

∴AP=BP，

（2）∵∠ACE=∠APE=90°，

∴點(diǎn)A，點(diǎn)P，點(diǎn)C，點(diǎn)E四點(diǎn)共圓，

∴∠AEP=∠ACD=45°，且AP⊥EP，

∴∠EAP=45°

（3）EC=PD，理由如下：

如圖，過點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H，

∵∠EAP=∠AEP=45°，

∴AP=PE，

∵∠APE=90°=∠ADP

∴∠APD+∠PAD=90°，∠APD+∠EPH=90°，

∴∠PAD=∠EPH，且AP=PE，∠EHP=∠ADP=90°

∴△APD≌△PEH（AAS）

∴EH=PD，

∵∠ECH=∠DCB=45°，EH⊥CD

∴∠HEC=∠HCE=45°

∴EH=CH

在Rt△ECH中

∴EC=PD．