Question

【題目】襄陽市某企業(yè)積極響應政府“創(chuàng)新發(fā)展”的號召，研發(fā)了一種新產(chǎn)品．已知研發(fā)、生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本為30元/件，且年銷售量y（萬件）關于售價x（元/件）的函數(shù)解析式為：y= ．
（1）若企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤為W（萬元），請直接寫出年利潤W（萬元）關于售價x（元/件）的函數(shù)解析式；
（2）當該產(chǎn)品的售價x（元/件）為多少時，企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤最大？最大年利潤是多少？
（3）若企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤不少于750萬元，試確定該產(chǎn)品的售價x（元/件）的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當40≤x＜60時，W=（x﹣30）（﹣2x+140）=﹣2x2+200x﹣4200，

當60≤x≤70時，W=（x﹣30）（﹣x+80）=﹣x2+110x﹣2400

（2）

解：當40≤x＜60時，W=﹣2x2+200x﹣4200=﹣2（x﹣50）2+800，

∴當x=50時，W取得最大值，最大值為800萬元；

當60≤x≤70時，W=﹣x2+110x﹣2400=﹣（x﹣55）2+625，

∴當x＞55時，W隨x的增大而減小，

∴當x=60時，W取得最大值，最大值為：﹣（60﹣55）2+625=600，

∵800＞600，

∴當x=50時，W取得最大值800，

答：該產(chǎn)品的售價x為50元/件時，企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤最大，最大年利潤是800萬元

（3）

解：當40≤x＜60時，由W≥750得：﹣2（x﹣50）2+800≥750，

解得：45≤x≤55，

當60≤x≤70時，W的最大值為600＜750，

∴要使企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤不少于750萬元，該產(chǎn)品的售價x（元/件）的取值范圍為45≤x≤55

【解析】（1）根據(jù)：年利潤=（售價﹣成本）×年銷售量，結合x的取值范圍可列函數(shù)關系式；（2）將（1）中兩個二次函數(shù)配方后依據(jù)二次函數(shù)的性質可得其最值情況，比較后可得答案；（3）根據(jù)題意知W≥750，可列關于x的不等式，求解可得x的范圍．本題主要考查二次函數(shù)的實際應用，梳理題目中的數(shù)量關系，得出相等關系后分情況列出函數(shù)解析式，熟練運用二次函數(shù)性質求最值是解題的關鍵．