Question

17．如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，D為⊙O上的一點，CD=CB，延長CD交BA的延長線于點E．
（1）求證：CD為⊙O的切線．
（2）若圓心O到弦DB的距離為1，∠ABD=30°，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析 （1）首先連接OD，由BC是⊙O的切線，可得∠ABC=90°，又由CD=CB，OB=OD，易證得∠ODC=∠ABC=90°，即可證得CD為⊙O的切線；
（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的長，∠BOD的度數(shù)，又由S_陰影=S_扇形OBD-S_△BOD，即可求得答案．

解答 （1）證明：連接OD，
∵BC是⊙O的切線，
∴∠ABC=90°，
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODC=∠ABC=90°，
即OD⊥CD，
∵點D在⊙O上，
∴CD為⊙O的切線；

（2）解：過點O作OF⊥BD于點F，
在Rt△OBF中，
∵∠ABD=30°，OF=1，
∴∠BOF=60°，OB=2，BF=$\sqrt{3}$，
∵OF⊥BD，
∴BD=2BF=2$\sqrt{3}$，∠BOD=2∠BOF=120°，
∴S_陰影=S_扇形OBD-S_△BOD=$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=$\frac{4}{3}$π-$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了切線的判定與性質(zhì)、垂徑定理以及扇形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．