Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（4，0）（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將△ABC沿直線BC對(duì)折，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為A′，試求A′的坐標(biāo)；

（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使∠BPC＝∠BAC？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）A'（1，4）；（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）或（，2+）．

【解析】

（1）先判斷出拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)，再根據(jù)交點(diǎn)式，即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出∠ACB＝90°，進(jìn)而得出AA'的中點(diǎn)恰好是點(diǎn)C，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出結(jié)論；

（3）分點(diǎn)P在直線BC下方和上方，判斷出點(diǎn)P在△ABC（或△A'BC的外接圓上，求出此圓的半徑和圓心O'的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（4，0），

∴拋物線的解析式為y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2，

（2）如圖，

由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2，

則點(diǎn)C（0，2），

∵B（4，0），A（﹣1，0），

∴OA＝1，OB＝4，

∴＝＝，

∵∠AOC＝∠COB＝90°，

∴△AOC∽△COB，

∴∠ACO＝∠CBO，

∵∠OCB+∠OBC＝90°，

∴∠ACO+∠OCB＝90°，

∴∠ACB＝90°，

由折疊知，點(diǎn)A'與A關(guān)于BC對(duì)稱，

則AA'與BC的交點(diǎn)恰為點(diǎn)C，

即點(diǎn)C是AA'的中點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)A（m，n），

則＝0，＝2，

∴m＝1，n＝4，

∴A'（1，4）；

（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方時(shí)，

由（2）知，△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，

作Rt△ABC的外接圓，則圓心為拋物線與x軸的交點(diǎn)，記作O'，

∴O'（，0），⊙O'半徑為，

∴O'P＝，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，a），

∴O'P＝﹣a，

∴﹣a＝，

∴a＝﹣，

∴P（，﹣）；

如圖，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，

由（2）知，A'（1，4），

由折疊知，△A'BC是以A'B為斜邊的直角三角形，作Rt△A'BC的外接圓，記圓心為O'，O'是A'B的中點(diǎn)，

∵B（4，0），

∴O'（，2），⊙O'的半徑為，

∵∠BPC＝∠BAC，

∴點(diǎn)P在⊙O'上，

∴O'P＝

設(shè)點(diǎn)P（，d）（d＞1），

∴O'P＝＝

∴d＝2﹣（舍）或d＝2+，

∴P（，2+），

即滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）或（，2+）．