Question

（14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A的坐標(biāo)是（4，0），并且OA=OC=4OB，動點P在過A，B，C三點的拋物線上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在點P，使得∠PCO=∠POC？若存在，求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

Answer 1

（1）y=﹣x2+3x+4；（2）存在．點P的坐標(biāo)是：（，2）或（，2）；（3）存在．P的坐標(biāo)是（2，6）或（﹣2，﹣6）.

【解析】

試題分析：（1）求出點BC的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式是y=ax2+bx+c，將點A、B、C的坐標(biāo)代入解方程再即可；（2）線段OC的垂直平分線l：y=2與拋物線y=﹣x2+3x+4的交點即為點P；（3）假設(shè)存在，分以C為直角頂點和點A為直角頂點，兩種情況討論即可.

試題解析：

【解析】
（1）由A（4，0），可知OA=4，

∵OA=OC=4OB，

∴OA=OC=4，OB=1，

∴C（0，4），B（﹣1，0）．

設(shè)拋物線的解析式是y=ax2+bx+c，

則，

解得：，

則拋物線的解析式是：y=﹣x2+3x+4； 4分

（2）存在． 5分

作線段OC的垂直平分線l，與拋物線的交點即為點P．

∵C（0，4），O（0，0），

∴直線l的表達式為y=2；．代入拋物線的表達式，

得2=﹣x2+3x+4； 6分

解得，x=

∴點P的坐標(biāo)是：（，2）或（，2）.............8分

（3）存在． 9分

第一種情況，當(dāng)以C為直角頂點時，過點C作CP1⊥AC，交拋物線于點P1．過點P1作y軸的垂線，垂足是M．

∵∠ACP1=90°，

∴∠MCP1+∠ACO=90°．

∵∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠MCP1=∠OAC．

∵OA=OC，

∴∠MCP1=∠OAC=45°，

∴∠MCP1=∠MP1C，

∴MC=MP1，

設(shè)P（m，﹣m2+3m+4），則m=﹣m2+3m+4﹣4，

解得：m1=0（舍去），m2=2．

∴﹣m2+3m+4=6，

即P（2，6）． 12分

第二種情況，當(dāng)點A為直角頂點時，過A作AP2，AC交拋物線于點P2，過點P2作y軸的垂線，垂足是N，AP交y軸于點F．

∴P2N∥x軸，

由∠CAO=45°，

∴∠OAP=45°，

∴∠F P2N=45°，AO=OF．

∴P2N=NF，

設(shè)P2（n，﹣n2+3n+4），則n=（﹣n2+3n+4）+4

解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），

∴﹣n2+3n+4=﹣6，

則P2的坐標(biāo)是（﹣2，﹣6）．

綜上所述，P的坐標(biāo)是（2，6）或（﹣2，﹣6）； 14分

考點：1.待定系數(shù)法求解析式；2.兩函數(shù)的交點坐標(biāo)；3.一元二次方程；4.直角三角形的性質(zhì).