Question

【題目】已知，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝18cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O．

（1）如圖1，連接AF、CE．求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；

（2）如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周．即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．在運動過程中．

①已知點P的速度為每秒10cm，點Q的速度為每秒6cm，運動時間為t秒，當(dāng)A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．

②若點P、Q的運動路程分別為x、y（單位：cm，xy≠0），已知A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，求x與y滿足的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；（2）①，②．

【解析】

（1）首先證明，由此得出，從而證明四邊形為菱形，然后在Rt△ABF中利用勾股定理進(jìn)一步求解即可；

（2）①根據(jù)題意依次發(fā)現(xiàn)當(dāng)點在上時，點在上以及點在上時，點在或上，也不能構(gòu)成平行四邊形，當(dāng)點在上、點在上時，才能構(gòu)成平行四邊形，據(jù)此進(jìn)一步求解即可；②以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，根據(jù)題意分當(dāng)點在上、點在上時或當(dāng)點在上、點在上時以及當(dāng)點在上、點在上時三種情況進(jìn)一步分析求解即可.

（1）證明：∵四邊形是矩形，

∴，

∴，．

∵垂直平分，垂足為，

∴，

在和△COF中，

∵

∴，

∴，

∴四邊形為平行四邊形，

又∵，

∴四邊形為菱形，

設(shè)菱形的邊長，則

在Rt△ABF中，，

解得：，

∴；

（2）①顯然當(dāng)點在上時，點在上，此時、、、四點不可能構(gòu)成平行四邊形；

同理點在上時，點在或上，也不能構(gòu)成平行四邊形．因此只有當(dāng)點在上、點在上時，才能構(gòu)成平行四邊形．

∴以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，，

∵點的速度為每秒，點的速度為每秒，運動時間為秒，

∴，，

∴，

解得：，

∴以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，；

②由題意得，以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，點、在互相平行的對應(yīng)邊上．

分三種情況：

其一：如圖1，當(dāng)點在上、點在上時，，，即；

其二：如圖2，當(dāng)點在上、點在上時，，，即；

其三：如圖3，當(dāng)點在上、點在上時，，，即，

綜上所述，與滿足的函數(shù)關(guān)系式是．