Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3，頂點為E，該拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交子點C，且OB=OC=3OA，直線y=﹣x+1與y軸交于點D．求∠DBC﹣∠CBE=_____．

Answer 1

【答案】45°．

【解析】

先求出點D、點C的坐標，得出點B、A的坐標，求出拋物線的解析式，得出拋物線的頂點坐標，根據(jù)勾股定理求出BC、CE、BE，由勾股定理的逆定理證明△BCE為直角三角形，∠BCE=90°，由三角函數(shù)證出∠DBO=∠CBE，即可得出∠DBC-∠CBE=∠DBC-∠DBO=∠OBC=45°．

將x=0代入y=x+1，y=1，

∴D（0，1），

將x=0代入y=ax2+bx-3得：y=-3，
∴C（0，-3），

∵OB=OC=3OA，

∴B（3，0），A（-1，0），∠OBC=45°，

對于直線y=x+1，

當y=0時，x=3，

∴直線y=x+1過點B．
將點C（0，-3）的坐標代入y=a（x+1）（x-3），

得：a=1，

∴拋物線的解析式為：y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴拋物線y=x2-2x-3的頂點為E（1，-4）．

于是由勾股定理得：

BC=3，CE=，BE=2．

∵BC2+CE2=BE2，

∴△BCE為直角三角形，∠BCE=90°，

因此tan∠CBE==．

又tan∠DBO==，

則∠DBO=∠CBE，

∴∠DBC-∠CBE=∠DBC-∠DBO=∠OBC=45°．

故答案為：45°.