Question

6．如圖，已知一次函數(shù)y=-x+4的圖象交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)E，F(xiàn)，EC⊥x軸垂足為點(diǎn)C，且△AOE的面積為1．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求△EOF的面積．

Answer 1

分析 （1）先說(shuō)明△AOB是等腰直角三角形，所以△AEC也是等腰直角三角形，根據(jù)y=-x+4求出OA的長(zhǎng)，利用面積求高CE的長(zhǎng)，寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)F是兩函數(shù)的交點(diǎn)，則列方程組求解，只求出點(diǎn)F的橫坐標(biāo)即可；△EOF的面積等于S_△AOB-S_△BOF-S_△AOE，代入計(jì)算．

解答 解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{k}{x}$（k≠0），
y=-x+4，
當(dāng)x=0時(shí)，y=4，則OB=4，
當(dāng)y=0時(shí)，-x+4=0，x=4，則OA=4，
∴OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∴△AEC也是等腰直角三角形，
∵S_△AOE=$\frac{1}{2}$OA•CE=1，
∴OA•CE=2，
∴4CE=2，CE=$\frac{1}{2}$，
∴CE=CA=$\frac{1}{2}$，
∴OC=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴E（$\frac{7}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴k=$\frac{7}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{4}$，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{7}{4x}$；
（2）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{7}{4x}}\end{array}\right.$，
解得：x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{7}{2}$，
∴S_△EOF=S_△AOB-S_△BOF-S_△AOE，
=$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$×4×$\frac{1}{2}$-1，
=6．
則△EOF的面積為6．

點(diǎn)評(píng) 本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，具體作法是：先求兩函數(shù)的解析式，列方程組解出，方程組的解即是交點(diǎn)坐標(biāo)．