Question

【題目】請閱讀下述材料：

下述形式的繁分數(shù)叫做有限連分數(shù)，其中n是自然數(shù)，a0是整數(shù)，a1，a2，a3，…，an是正整數(shù)：

其中稱為部分商。

按照以下方式可將任何一個分數(shù)轉(zhuǎn)化為連分數(shù)的形式：，則；考慮的倒數(shù)，有，從而；再考慮的倒數(shù)，有，于是得到a的連分數(shù)展開式，它有4個部分商：3，1，3，3；

可利用連分數(shù)來求二元一次不定方程的特殊解，以為例，首先將寫成連分數(shù)的形式，如上所示；其次，數(shù)部分商的個數(shù)，本例是偶數(shù)個部分商（奇數(shù)情況請見下例）；最后計算倒數(shù)第二個漸近分數(shù)，從而是一個特解。

考慮不定方程，先將寫成連分數(shù)的形式：。

注意到此連分數(shù)有奇數(shù)個部分商，將之改寫為偶數(shù)個部分商的形式：

計算倒數(shù)第二個漸近分數(shù)：，所以是的一個特解。

對于分式，有類似的連分式的概念，利用將分數(shù)展開為連分數(shù)的方法，可以將分式展開為連分式。例如的連分式展開式如下，它有3個部分商： ；

再例如，，它有4個部分商：1，。

請閱讀上述材料，利用所講述的方法，解決下述兩個問題

（1）找出兩個關(guān)于x的多項式p和q，使得。

（2）找出兩個關(guān)于x的多項式u和v，使得。

Answer 1

【答案】（1）p＝x，q＝x+1；（2）u＝x+1，v＝x2+2x.

【解析】

（1）根據(jù)題意可以將題目中的式子分式展開為連分式；然后按要求求出計算倒數(shù)第二個漸進分式，即可得到所求關(guān)于x的多項式p和q；

（2）根據(jù)題意可以將題目中的式子分式展開為連分式；然后按要求求出計算倒數(shù)第二個漸進分式即可兩個關(guān)于x的多項式u和v．．

解：（1） ，

計算倒數(shù)第二個漸進分數(shù)： ，

∴p＝x，q＝x+1，

（2） ，

計算倒數(shù)第二個漸進分數(shù)： ，

∴u＝x+1，v＝x2+2x.