Question

7．如圖，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標系中，A，B兩點坐標分別為（3，0）和（0，3$\sqrt{3}$）．動點P從A點開始沿折線AO-OB-BA運動，點P在AO，OB，BA上運動，速度分別為1，$\sqrt{3}$，2（長度單位/秒）．一直尺的上邊緣l從x軸的位置開始以$\frac{\sqrt{3}}{3}$（長度單位/秒）的速度向上平行移動（即移動過程中保持l∥x軸），且分別與OB，AB交于E，F(xiàn)兩點﹒設動點P與動直線l同時出發(fā)，運動時間為t秒，當點P沿折線AO-OB-BA運動一周時，直線l和動點P同時停止運動．
請解答下列問題：
（1）直接寫出過A，B兩點的直線解析式是y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$；
（2）當t﹦5時，點P的坐標為（0，2$\sqrt{3}$）；當t﹦$\frac{9}{2}$，點P與點E重合；
（3）求在運動過程中使∠FEP=30°的t值；
（4）當t=1時，在坐標平面上是否存在點Q，使得△FEQ∽△BEP（F，E，Q分別與B，E，P對應）？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設直線AB的解析式為y=ax+b，把A與B坐標代入求出a與b的值，即可求出直線AB解析式；
（2）由A與B坐標求出OA與OB的長，根據(jù)t=5，確定出P位置，求出P坐標；當P與E重合時列出關于t的方程，求出方程的解即可得到結果；
（3）①當點P在線段AO上時，如圖1所示，表示出OP與OE，利用銳角三角函數(shù)定義求出t的值；②當點P在線段BA上運動時，若∠FEP=30°，且點P在點F的上方時，∠BPE=90°，如圖2a所示，利用銳角三角函數(shù)定義求出t的值；若∠FEP=30°且點P在點F下方時，如圖2b所示，求出此時t的值即可；（4）當t=1時，在坐標平面上存在點Q，使得△FEQ∽△BEP，理由為：根據(jù)t=1求出OA，AP，OP，將△BEP繞著E順時針方向旋轉90°，得到△B′EC（如圖3），利用相似三角形的性質及對稱性質求出Q的坐標即可．

解答 解：（1）設直線AB的解析式是y=ax+b（a≠0），
把A（3，0），B（0，3$\sqrt{3}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{0=3a+b}\\{3\sqrt{3}=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\sqrt{3}}\\{b=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
則直線AB的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$；
（2）∵A，B兩點坐標分別為（3，0）和（0，3$\sqrt{3}$），
∴AO=3，OB=3$\sqrt{3}$，
∴t_AO=3÷1=3（秒），t_OB=5-3=2（秒），
∴P（0，2$\sqrt{3}$）；
根據(jù)題意得：點P與點E在OB上重合時，有$\frac{\sqrt{3}}{3}$t=$\sqrt{3}$（t-3），
解得：t=$\frac{9}{2}$；
（3）①當點P在線段OA上運動時，如圖1所示：

若∠FEP=30°，則∠EPO=30°，
∵OP=3-t，OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
∴Rt△OEP中，tan30°=$\frac{OE}{OP}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}t}{3-t}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：t=$\frac{3}{2}$；
②當點P在線段BA上運動時，
若∠FEP=30°，且點P在點F的上方時，∠BPE=90°，如圖2a所示：

∵BP=2（t-6）=2t-12，BE=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
∴cos30°=$\frac{BP}{BE}$=$\frac{2t-12}{3\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}t}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：t=$\frac{33}{5}$；
若∠FEP=30°且點P在點F下方時，如圖2b所示：

∵∠FPE=∠FEP=30°，
∴EF=PF，
tan30°=$\frac{EF}{BE}$=$\frac{EF}{3\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}t}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，PF=BP-2EF=2t-12-2EF，
整理得：EF=$\frac{9-t}{3}$，即$\frac{9-t}{3}$=2t-12-$\frac{2（9-t）}{3}$，
解得：t=7；
（4）存在，理由為：
∵t=1，
∴OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AP=1，OP=2，
將△BEP繞著E順時針方向旋轉90°，得到△B′EC（如圖3），

∵OB⊥EF，
∴B′在直線EF上，C坐標為（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$-2），
過F作FQ∥B′C，交EC于點Q，
∴△FEQ∽△B′EC，
由$\frac{BE}{FE}$=$\frac{B′E}{FE}$=$\frac{CE}{QE}$=$\sqrt{3}$，可得Q（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
根據(jù)對稱性可得：Q關于直線EF的對稱點Q′（-$\frac{1}{3}$，$\sqrt{3}$）也滿足條件．
故答案為：（1）y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$；（2）（0，2$\sqrt{3}$）；$\frac{9}{2}$

點評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，坐標與圖形性質，旋轉與對稱性質，相似三角形的判定與性質，銳角三角函數(shù)定義，利用了分類討論的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題第一問的關鍵．