Question

【題目】如圖，△ABC中，AD是高，CE是中線，點G是CE的中點，且DG⊥CE，垂足為點G．

(1)求證：DC=BE；

(2)若∠AEC=54°，求∠BCE的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）54°

【解析】

（1）由G是CE的中點，DG⊥CE得到DG是CE的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DE=DC，由DE是Rt△ADB的斜邊AB上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DE=BE=AB，即可得到DC=BE；
（2）由DE=DC得到∠DEC=∠BCE，由DE=BE得到∠B=∠EDB，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，則∠B=2∠BCE，由此根據(jù)外角的性質(zhì)來求∠BCE的度數(shù)．

（1）∵G是CE的中點，DG⊥CE，

∴DG是CE的垂直平分線，

∴DE=DC，

∵AD是高，CE是中線，

∴DE是Rt△ADB的斜邊AB上的中線，

∴DE=BE= AB，

∴DC=BE；

（2）∵DE=DC，

∴∠DEC=∠BCE，

∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，

∵DE=BE，

∴∠B=∠EDB，

∴∠B=2∠BCE，

∴∠AEC=3∠BCE=54°，則∠BCE=18°．