Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），且此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（﹣1，4）．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)D為已知拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△ACD與△ACB面積相等時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P在線段AM上，當(dāng)PC與y軸垂直時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為E，將△PCE沿直線CE翻折，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′與P、E、C處在同一平面內(nèi)，請(qǐng)求出點(diǎn)P′坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)P′是否在該拋物線上．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)為M（﹣1，4），

∴ ，解得： ．

∴所求拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3

（2）

解：依照題意畫(huà)出圖形，如圖1所示．

令y=﹣x2﹣2x+3=0，解得：x=﹣3或x=1，

故A（﹣3，0），B（1，0），

∴OA=OC，△AOC為等腰直角三角形．

設(shè)AC交對(duì)稱(chēng)軸x=﹣1于F（﹣1，yF），

由點(diǎn)A（﹣3，0）、C（0，3）可知直線AC的解析式為y=x+3，

∴yF=﹣1+3=2，即F（﹣1，2）．

設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，yD），

則S△ADC= DFAO= ×|yD﹣2|×3．

又∵S△ABC= ABOC= ×[1﹣（﹣3）]×3=6，且S△ADC=S△ABC，

∴ ×|yD﹣2|×3．=6，解得：yD=﹣2或yD=6．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）或（﹣1，6）

（3）

解：如圖2，點(diǎn)P′為點(diǎn)P關(guān)于直線CE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P′作PH⊥y軸于H，設(shè)P′E交y軸于點(diǎn)N．

在△EON和△CP′N(xiāo)中， ，

∴△EON≌△CP′N(xiāo)（AAS）．

設(shè)NC=m，則NE=m，

∵A（﹣3，0）、M（﹣1，4）可知直線AM的解析式為y=2x+6，

∴當(dāng)y=3時(shí)，x=﹣ ，即點(diǎn)P（﹣ ，3）．

∴P′C=PC= ，P′N(xiāo)=3﹣m，

在Rt△P′N(xiāo)C中，由勾股定理，得： +（3﹣m）2=m2，

解得：m= ．

∵S△P′N(xiāo)C= CNP′H= P′N(xiāo)P′C，

∴P′H= ．

由△CHP′∽△CP′N(xiāo)可得： ，

∴CH= = ，

∴OH=3﹣ = ，

∴P′的坐標(biāo)為（ ， ）．

將點(diǎn)P′（ ， ）代入拋物線解析式，

得：y=﹣ ﹣2× +3= ≠ ，

∴點(diǎn)P′不在該拋物線上．

【解析】（1）由拋物線經(jīng)過(guò)的C點(diǎn)坐標(biāo)以及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式；（2）設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，yD），根據(jù)三角形的面積公式以及△ACD與△ACB面積相等，即可得出關(guān)于yD含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；（3）作點(diǎn)P關(guān)于直線CE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，過(guò)點(diǎn)P′作PH⊥y軸于H，設(shè)P′E交y軸于點(diǎn)N．根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)即可得出△EON≌△CP′N(xiāo)，從而得出CN=NE，由點(diǎn)A、M的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AM的解析式，進(jìn)而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，在Rt△P′N(xiāo)C中，由勾股定理可求出CN的值，再由相似三角形的性質(zhì)以及線段間的關(guān)系即可找出點(diǎn)P′的坐標(biāo)，將其代入拋物線解析式中看等式是否成立，由此即可得出結(jié)論．