Question

【題目】如圖，拋物線與直線交于A、B兩點，其中A在y軸上，點B的橫坐標為4，P為拋物線上一動點，過點P作PC垂直于AB，垂足為C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P在直線AB上方的拋物線上，設P的橫坐標為m，用m的代數式表示線段PC的長，并求出線段PC的最大值及此時點P的坐標.

（3）若點P是拋物線上任意一點，且滿足0°＜∠PAB≤45°。請直接寫出：

①點P的橫坐標的取值范圍；

②縱坐標為整數點P為“巧點”，“巧點”的個數。

Answer 1

【答案】（1）

（2），

（3） 且 7個.

【解析】試題分析：（1）求出A、B兩點坐標代入拋物線的解析式即可解決問題．

（2）作PF⊥x軸于F，交AB于E，直線AB交x軸于D．設P（m，-m2+m+1），則E（m， m+1），PE=-m2+4m，由△PCE∽△DOA，可得，構建二次函數后即可解決問題．

（3）①如圖2中，取點F（1，4），連接AF、FB，首先證明△FAB是等腰直角三角形，推出∠FAB=45°，設直線AF交拋物線于P，可得直線AF的解析式為y=3x+1，利用方程組求出∠PAB=45°時，點P的坐標即可解決問題，再根據對稱性求出P′A⊥PA時的點P′的坐標即可解決問題．

②觀察圖象可知點P的縱坐標的范圍3＜yp≤或-≤yP＜3，所以整數yp為4，5，6，0，1，2，又點P的橫坐標≤m＜4．推出對應的點P有7個，

試題解析：（1）由題意A（0，1），B（4，3），

把A（0，1），B（4，3）代入y=-x2+bx+c得到

，

解得，

∴拋物線的解析式為y=-x2+x+1．

（2）作PF⊥x軸于F，交AB于E，直線AB交x軸于D．

由題意D（-2，0），A（0，1），

設P（m，-m2+m+1），則E（m， m+1），PE=-m2+4m

∴OA=1，OD=2，AD=，

∵PF∥OA，

∴∠DAO=∠DEF=∠PEC，

∵∠AOD=∠PCE=90°，

∴△PCE∽△DOA，

∴，

∴，

∴PC=-（m2-4m），

∵PC=-（m2-4m）=-（m-2）2+，

∵-＜0，

∴m=2時，PC有最大值．最大值為，此時P（2，6）；

（3）①如圖2中，取點F（1，4），連接AF、FB，

∵A（0，1），B（4，3），

∴AF=，FB=，AB=

∴AF=FB，AF2+BF2=AB2，

∴△FAB是等腰直角三角形，

∴∠FAB=45°，設直線AF交拋物線于P，

∴直線AF的解析式為y=3x+1，

由

解得或，

∵A（0，1），

∴P（， ），

當P′A⊥PA時，

直線P′A的解析式為y=-x+1，

∴，解得或，

∴P′（，-）

∴觀察圖象可知，滿足條件0°＜∠PAB≤45°的點P的橫坐標≤m＜4或4＜m≤．

②觀察圖象可知點P的縱坐標的范圍3＜yp≤或-≤yP＜3

∴整數yp為4，5，6，0，1，2，又點P的橫坐標≤m＜4或4＜m≤．

∴對應的點P有7個，

∴“巧點”的個數為7個．