Question

【題目】如圖，已知ABCD是菱形，△EFP的頂點E，F(xiàn)，P分別在線段AB，AD，AC上，且EP=FP．
（1）證明：∠EPF+∠BAD=180°；
（2）若∠BAD=120°，證明：AE+AF=AP；
（3）若∠BAD=θ，AP=a，求AE+AF．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠PAM=∠PAN，

∴PM=PN，

∵PE=PF，

∴Rt△PMF≌Rt△PNE，

∴∠MPF=∠NPE，

∴∠EPF=∠MPF，

∵∠BAD+∠MPN=360°﹣∠AMP﹣∠ANP=180°，

∴∠EPF+∠BAD=180°

（2）證明：如圖2中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．

由（1）可知Rt△PMF≌Rt△PNE，

∴FM=NE，

∵PA=PA，PM=PN，

∴Rt△PAM≌Rt△PAN，

∴AM=AN，

∴AF+AE=（AM+FM）+（AN﹣EN）=2AM，

∵∠BAD=120°，

∴∠PAM=60°，易知PA=2AM，

∴AE+AF=PA

（3）解：結論：AF+AE=PAcos ．

理由：如圖2中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．

由（1）可知Rt△PMF≌Rt△PNE，

∴FM=NE，

∵PA=PA，PM=PN，

∴Rt△PAM≌Rt△PAN，

∴AM=AN，

∴AF+AE=（AM+FM）+（AN﹣EN）=2AM，

∵∠BAD=θ，

∴∠PAM= ，易知AM=PAcos ，

∴AF+AE=PAcos

【解析】（1）如圖1中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．由Rt△PMF≌Rt△PNE，推出∠MPF=∠NPE，推出∠EPF=∠MPF，由∠BAD+∠MPN=360°﹣∠AMP﹣∠ANP=180°，推出∠EPF+∠BAD=180°即可；（2）如圖2中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．由Rt△PMF≌Rt△PNE，推出FM=NE，由PA=PA，PM=PN，推出Rt△PAM≌Rt△PAN，推出AM=AN，推出AF+AE=（AM+FM）+（AN﹣EN）=2AM，再證明PA=2AM即可解決問題；（3）結論：AF+AE=PAcos ．證明方法類似（2）；