Question

【題目】如圖所示，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣1，0）、（0，﹣3）．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線與x軸的另一交點(diǎn)，點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，且DC=DE，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在第二問的條件下，在直線DE上存在點(diǎn)P，使得以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△DOC相似，請(qǐng)你直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（0，﹣3），

∴ ，

解得 ，

故拋物線的函數(shù)解析式為y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：令x2﹣2x﹣3=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，﹣4），

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，m），作EF⊥y軸于點(diǎn)F，

∵DC2=OD2+OC2=m2+32，DE2=DF2+EF2=（m+4）2+12，

∵DC=DE，

∴m2+9=m2+8m+16+1，

解得m=﹣1，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣1）

（3）

解：∵點(diǎn)C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），

∴CO=DF=3，DO=EF=1，

根據(jù)勾股定理，CD= = = ，

在△COD和△DFE中，

∵ ，

∴△COD≌△DFE（SAS），

∴∠EDF=∠DCO，

又∵∠DCO+∠CDO=90°，

∴∠EDF+∠CDO=90°，

∴∠CDE=180°﹣90°=90°，

∴CD⊥DE，

①分OC與CD是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，

∵△DOC∽△PDC，

∴ = ，

即 = ，

解得DP= ，

過點(diǎn)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G，

則 = = ，

即 = = ，

解得DG=1，PG= ，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊時(shí)，OG=DG﹣DO=1﹣1=0，

所以點(diǎn)P（﹣ ，0），

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的右邊時(shí)，OG=DO+DG=1+1=2，

所以，點(diǎn)P（ ，﹣2）；

②OC與DP是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，

∵△DOC∽△CDP，

∴ = ，

即 = ，

解得DP=3 ，

過點(diǎn)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G，

則 = = ，

即 = = ，

解得DG=9，PG=3，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊時(shí)，OG=DG﹣OD=9﹣1=8，

所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣3，8），

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的右邊時(shí)，OG=OD+DG=1+9=10，

所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，﹣10），

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P共有4個(gè)，其坐標(biāo)分別為（﹣ ，0）、（ ，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．

【解析】（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程組求出b、c的值，即可得解；（2）令y=0，利用拋物線解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，m），作EF⊥y軸于點(diǎn)F，利用勾股定理列式表示出DC2與DE2 ， 然后解方程求出m的值，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）根據(jù)點(diǎn)C、D、E的坐標(biāo)判定△COD和△DFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠EDF=∠DCO，然后求出CD⊥DE，再利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)度，然后①分OC與CD是對(duì)應(yīng)邊；②OC與DP是對(duì)應(yīng)邊；根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出DP的長(zhǎng)度，過點(diǎn)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G，再分點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊與右邊兩種情況，分別求出DG、PG的長(zhǎng)度，結(jié)合平面直角坐標(biāo)系即可寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．