Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點A（0，4），B（﹣4，0），C（4，0）．

（1）如圖①，若∠BAD＝15°，AD＝3，求點D的坐標(biāo)；

（2）如圖②，AD＝2，將△ABD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ACE，點B，D的對應(yīng)點分別為C，E．連接DE，BD的延長線與CE相交于點F．

①求DE的長；

②證明：BF⊥CE．

（3）如圖③，將（2）中的△ADE繞點A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中點D，E的對應(yīng)點分別為D1，E1，點N，P分別為D1E1，D1C的中點，請直接寫出△OPN面積S的變化范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②見解析；（3）

【解析】

（1）如圖①中，過點D作DG⊥OA，垂足為G．解直角三角形求出DG，OG即可．

（2）①利用勾股定理求出即可．

②證明△ABD≌△ACE（SAS），可得結(jié)論．

（3）證明△OPN是等腰直角三角形，求出OP的取值范圍，求出△OPN的面積的最小值以及最大值即可．

解：（1）∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，

∴∠OAB＝∠ABO＝45°．

∴∠DAO＝∠OAB﹣∠DAB＝30°．

如圖①中，過點D作DG⊥OA，垂足為G．

在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，

∴，

∴．

∴點D的坐標(biāo)為．

（2）①如圖②中，

∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE＝2，

∴在中，．

②∵OA＝OB＝OC＝4，∠AOB＝∠AOC＝90°，

∴∠OAB＝∠ABO＝∠ACO＝∠OAC＝45°，

∴∠BAC＝90°，

∵△ABD旋轉(zhuǎn)得到△ACE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，

在△BFC中，則有∠FBC+∠FCB＝∠FBC+∠BCA+∠ACE＝∠FBC+∠BCA+∠ABD＝∠ABC+∠BCA＝90°，

∴BF⊥CE．

（3）如圖③中，

∵OB＝OC，PC＝PD1，NE1＝ND1，

∴OP＝BD1，PN＝E1C，OP∥BD1，PN∥CE1

∵BD1⊥E1C，BD1＝E1C，

∴OP⊥PN，OP＝PN，

∴△OPN是等腰直角三角形，

∵AB＝4，AD1＝2，

∴4﹣2≤BD1≤4+2，

∴2﹣1≤OP≤2+1，

∴△OPN面積的最小值＝（2﹣1）2＝﹣2，△OPN的面積的最大值＝+2，

∴．