Question

15．如圖，在圓內接四邊形ABCD中，若∠ADB=∠ABC，點P為對角線BD上的一點，已知BD=6，CD=4．
（1）當BP為多少時，△APD是以PD為底的等腰三角形？
（2）在（1）的條件下，若cos∠ACB=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）先寫出BD的值等于多少，再根據(jù)BD的值和已知條件說明△APD是以PD為底的等腰三角形即可；
（2）作AE⊥BD于點E，然后根據(jù)等腰三角形的性質，可知AE為△APD的中線，然后根據(jù)第一問可以求得DE的長，從而可以求得AD、AE的長，進而可以求得AB的長．

解答 解：（1）當BP=4時，△APD是以PD為底的等腰三角形．
理由：∵在⊙O中，
∴∠ABP=∠ACD，∠ADB=∠ACB，
∵∠ADB=∠ABC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AC=AB，
∵CD=4，BP=4，
∴CD=BP，
在△ABP和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABP=∠ACD}\\{BP=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ACD（SAS）
∴AP=AD，
即當BP=4時，△APD是以PD為底的等腰三角形．
（2）作AE⊥BD于點E，如下圖所示，

∵BP=4，BD=6，△APD是等腰三角形，AE⊥BD，
∴DP=2，DE=$\frac{1}{2}×PD=1$，BE=5，
∵cos∠ACB=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，∠ACB=∠ADE，
∴cos∠ADE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵cos∠ADE=$\frac{DE}{AD}$，
∴AD=$\sqrt{5}$，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}=\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{1}^{2}}=2$，
∴AB=$\sqrt{B{E}^{2}+A{E}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{29}$，
即AB的長是$\sqrt{29}$．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、圓周角定理和等腰三角形的性質、銳角三角函數(shù)值，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．