Question

3．在平面直角坐標系中，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），點M為頂點，連接OM．若y與x的部分對應值如表所示：

x	…	-1	0	3	…
y	…	0	$\frac{3}{2}$	0	…

（1）求此拋物線的解析式；
（2）如圖1，C為線段OM上一點，過C作x軸的平行線交線段BM于點D，以CD為邊向上作正方形CDEF，CF、DE分別交此拋物線于P、Q兩點，是否存在這樣的點C，使得正方形CDEF的面積和周長恰好被直線PQ平分？若存在，求C點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，平移此拋物線使其頂點為坐標原點，P（0，-1）為y軸上一點，E為拋物線上y軸左側的一個動點，從E點發(fā)出的光線沿EP方向經(jīng)過y軸上反射后與此拋物線交于另一點F，則當E點位置變化時，直線EF是否經(jīng)過某個定點？如果是，請求出此定點的坐標，不是則說明理由．

Answer 1

分析 （1）從表中選取兩組數(shù)據(jù)代入拋物線解析式中，求出b、c即可；
（2）首先求出直線MB的解析式，進而表示出E，F(xiàn)，P，Q的坐標，利用正方形CDEF的面積的周長恰好被直線PQ平分，則CP=EQ，求出m的值即可；
（3）首先根據(jù)光的反射可知：點F在點E關于y軸的對稱點E₁和點P所成的直線上，設出點E的坐標，表示出E₁，求出直線PE₁，聯(lián)立拋物線求出交點F的坐標，求出直線EF的解析式，確定出所過的頂點即可．

解答 解：（1）將（-1，0）（0，$\frac{3}{2}$）代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-b+c=0}\\{c=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$；
（2）如圖1，
∵M（1，2），B（3，0），設直線MB的解析式為：y=kx+d，
則$\left\{\begin{array}{l}{k+d=2}\\{3k+d=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{d=3}\end{array}\right.$，
∴直線MB的解析式為：y=-x+3．
設C（m，2m），∴D（3-2m，2m），
∴正方形CDEF的邊長為：3-3m，
∴E（3-2m，3-m），F(xiàn)（m，3-m），P（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+$\frac{3}{2}$），Q（3-2m，-2m²+4m），
∵正方形CDEF的面積的周長恰好被直線PQ平分，
∴PQ過正方形的中心，
∴CP=EQ，
∴（-$\frac{1}{2}$m²+m+$\frac{3}{2}$）-2m=（3-m）-（-2m²+4m），
整理得：5m²-8m+3=0，
∴解得：m₁=$\frac{3}{5}$，m₂=1（舍去），
∴C（$\frac{3}{5}$，$\frac{6}{5}$）；
（3）如圖2

∵平移拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$使其頂點為坐標原點，
∴平移后的拋物線為：y=-$\frac{1}{2}$x^{2 ①}，
由光的反射定律可知：點F在點E關于y軸的對稱點E₁和點P所確定的直線上，
設點E（m，-$\frac{1}{2}$m²），則點E關于y軸的對稱點E₁（-m，-$\frac{1}{2}$m²），
設直線PE₁：y=px+q，
把點E₁，點P坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{m}^{2}=-mp+q}\\{-1=q}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{{m}^{2}-2}{2m}}\\{q=-1}\end{array}\right.$，
∴直線PE₁：y=$\frac{{m}^{2}-2}{2m}$x-1  ②
聯(lián)立①②，把①代入②得：$-\frac{1}{2}{x}^{2}$=$\frac{{m}^{2}-2}{2m}$x-1，
解得：x₁=$\frac{2}{m}$，x₂=-m（舍去）
此時：y=$-\frac{2}{{m}^{2}}$，
所以：點F（$\frac{2}{m}$，$-\frac{2}{{m}^{2}}$），
設直線EF：y=fx+g，把點E，點F坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{m}^{2}=mf+g}\\{-\frac{2}{{m}^{2}}=\frac{2}{m}f+g}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{f=-\frac{{m}^{2}+2}{2m}}\\{g=1}\end{array}\right.$，
∴直線EF：y=-$\frac{{m}^{2}+2}{2}$x+1，
當x=0時，y=1，
所以：則當E點位置變化時，直線EF經(jīng)過定點（0，1）．

點評 此題主要考察二次函數(shù)的綜合問題，會運用待定系數(shù)法求拋物線和直線的解析式，熟悉正方形的性質和光的反射定律的運用是解題的關鍵．