Question

7．川西某高原上有一條筆直的公路，在緊靠公路相距40千米的A、B兩地，分別有甲、乙兩個醫(yī)療站，如圖，在A地北偏東45°，B地北偏西60°方向上有一牧民區(qū)C，過點C作CH⊥AB于H．
（1）求牧民區(qū)C到B地的距離（結(jié)果用根式表示）；
（2）一天，乙醫(yī)療隊的醫(yī)生要到牧民區(qū)C．若C、D兩地距離是B、C兩地距離的$\frac{\sqrt{3}}{3}$倍，求∠ADC的度數(shù)及B、D兩地的距離（結(jié)果保留根號）．

Answer 1

分析 （1）設CH=x，分別表示出AH，BH的值，讓其相加得40求值即可求得CH的長，進而可求得CB的長；
（2）由CD和BC的數(shù)量關(guān)系可得CD和CH的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可求出∠ADC的度數(shù)，進而可得HD的長，用BH的長減去DH的長即為BD的距離．

解答 解：（1）設CH為x千米，由題意得，∠CBH=30°，∠CAH=45°，
∴AH=CH=x，
在Rt△BCH中，tan30°=$\frac{x}{BH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BH=$\sqrt{3}$x，
∵AH+HB=AB=40，
∴x+$\sqrt{3}$x=40，
解得x=20$\sqrt{3}$-20，
∴CB=2CH=40$\sqrt{3}$-40．
答：牧民區(qū)C到B地的距離為（40$\sqrt{3}$-40）千米；
（2）∵C、D 兩地距離是B、C兩地距離的$\frac{\sqrt{3}}{3}$倍，CH=$\frac{1}{2}$BC，
∴sin∠ADC=$\frac{CH}{CD}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{\sqrt{3}}{3}BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ADC=60°．
在Rt△CHD中，DH=CH•cot∠CDH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CH，
∵BH=$\sqrt{3}$CH，CH=20$\sqrt{3}$-20，
∴BD=BH-DH=$\sqrt{3}$CH-$\frac{\sqrt{3}}{3}$CH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（20$\sqrt{3}$-20）=40-$\frac{40\sqrt{3}}{3}$．
答：BD之間的距離為40-$\frac{40\sqrt{3}}{3}$千米．

點評 本題考查了解直角三角形的應用以及構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及特殊的三角函數(shù)值求解是解決本題關(guān)鍵．