Question

13．已知拋物線y=x²-2x-24．
（1）求證：拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)．
（2）若該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，且它的頂點(diǎn)為P，求△ABP的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)b²-4ac與0的關(guān)系即可證明出二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）由拋物線的解析式可求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出AB的長(zhǎng)，而三角形的高即為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由此可求出△ABP的面積．

解答 解：（1）
由函數(shù)表達(dá)式可知：△=b²-4ac，
=（-2）²-4×1×（-24）
=100
∵△＞0，
∴該拋物線一定與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）根據(jù)題意，得x²-2x-24=0    
解得x₁=-4，x₂=6，
即A（-4，0），B（6，0），
∴在△ABP中，AB=10，
∵PC=|$\frac{4ac-^{2}}{4a}$|=25，
∴在△ABP中，S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•PC=125．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求得底邊AB的長(zhǎng)度，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求得底邊上的高，是解題的關(guān)鍵．