Question

【題目】在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，E為AD中點(diǎn)，PE交CD延長(zhǎng)線于Q，過(guò)E作EF⊥PQ交BC延長(zhǎng)線于F，則下列結(jié)論：①△APE△DQE；②PQ=EF；③當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，CF= ；④若H為QC中點(diǎn)，當(dāng)P從A移動(dòng)到B時(shí)，線段EH掃過(guò)的面積為 .其中正確的是（ ）

A.①②
B.①②④
C.②③④
D.①②③

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=90°，
∵∠A＝∠EDQ， AE=ED,∠AEP＝∠DEQ，
∴△AEP≌△DEQ，故①正確；
②作PG⊥CD于G，EM⊥BC于M，EM與PG交于點(diǎn)N，

∴∠PGQ=∠EMF=90°．
∵EF⊥PQ，
∴∠PEF=90°，即∠PEN+∠NEF=90°，
∵∠NPE+∠NEP=90°，
∴∠NPE=∠NEF，
∵四邊形 ABCD 是正方形，∴PG=EM．
在△EFM 和△PQG中，
∠PGQ＝∠EMF , PG = ME,∠NPE=∠NEF，
∴△EFM≌△PQG，∴EF=PQ，故②正確
③連結(jié)QF，由PG⊥CD，且PE=EQ（由△AEP≌△DEQ可得），
則QF=PF，
則PB2+BF2=QC2+CF2 ，
設(shè)CF=x,列出方程得，（2+x）2+12=32+x2 ， 解得x=1，故③錯(cuò)誤；
④當(dāng)P在A點(diǎn)時(shí)，Q與D重合，QC中點(diǎn)H在DC中點(diǎn)S處，當(dāng)P移動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，QC中點(diǎn)H與D重合，故EH掃過(guò)的部分就為△ESD的面積為 ×ED×DS= ×1×1= ，故④正確.故選B.
①根據(jù)正方形的性質(zhì)易得∠A＝∠EDQ，再由對(duì)頂角相等，中點(diǎn)的定義即可證得全等；②需要構(gòu)造全等三角形；③由三線合一可證得PF=QF，再由勾股定理列方程求解；④CD的中點(diǎn)始終在CD邊上，則EH掃過(guò)的部分是一個(gè)三角形，由DE⊥CD可得DE為該三角形的高，根據(jù)點(diǎn)P的初始位置和終點(diǎn)可以找出點(diǎn)H的初始位置和終點(diǎn)，則它們的距離即H所走過(guò)的路程即為三角形的底，再求面積即可.