Question

16．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-mx²+4mx+3（m＞0）的圖象與x軸的一個交點為（-1，0）．點A在y軸正半軸上，點B在x軸正半軸上，始終有OA=3OB．連接AB，將線段AB繞點B按順時針旋方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC，過點C作直線l⊥x軸于H，過點A作AD⊥l于D．

（1）若直線l剛好是拋物線的對稱軸時，求OB的長；
（2）若四邊形ABCD的面積等于9時，求點D的坐標(biāo)，并判斷點D是否落在拋物線上；
（3）在（2）的條件下，點P是直線l上的一個動點．
①試探究在拋物線上，是否存在點Q，使以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
②當(dāng)∠PBC＜45°時，求點P的縱坐標(biāo)n的取值范圍．（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）先求得拋物線的對稱軸，從而得到OH=2，然后證明△AOB≌△BHC，則OA=BH．設(shè)OB=a，則OA=BH=3a，然后由OH=2可求得a的值；
（2）設(shè)OB=a，則OA=BH=3a．依據(jù)四邊形ABCD的面積=矩形AOHD的面積-2△AOB的面積列方程可求得a的值，然后可求得點D的坐標(biāo)，將（-1，0）代入拋物線的解析式可求得m的值，從而得到拋物線的解析式，然后可判定出點D是否在拋物線上；
（3）①當(dāng)AB為平行四邊形的邊時，則PQ∥AB且PQ=AB．如圖1所示：當(dāng)點Q在點P的上方時．設(shè)點P的坐標(biāo)為（4，m）則點Q的坐標(biāo)為（3，m+3），將點Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得m的值，故此可得到Q的坐標(biāo)；當(dāng)點Q在點P的下方時．設(shè)點P的坐標(biāo)為（4，m）則點Q的坐標(biāo)為（5，m-3）．將點Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得m的值，故此可得到Q的坐標(biāo)；當(dāng)AB為拋物線的對角線時，設(shè)點P的坐標(biāo)為（4，m），Q（x，y）．依據(jù)中點坐標(biāo)公式可求得點Q的坐標(biāo)，然后將點Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得m的值，故此可得到Q的坐標(biāo)；②如圖3所示：當(dāng)點P在點C的上方時，且∠PBC=45°．先證明△ABE≌△CBE，則AE=EC．設(shè)DE=a，則EC=AE=4-a．在Rt△EDC中，由勾股定理可求得a的值，故此可得到E（2.5，3），然后可求得BP的解析式，并可得到點P的坐標(biāo)，當(dāng)點P位于點P′處時，且∠P′BC=45°，則∠PBP′=90°．可求得BP′的解析式，并可得到點P′的坐標(biāo)，依據(jù)點P和點P′的坐標(biāo)可得到n的范圍．

解答 解：（1）∵x=-$\frac{2a}$，
∴x=2．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°．
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBH．
在△AOB和△BHC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BHC}\\{AB=BC}\\{∠BAO=∠CBH}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BHC．
∴OA=BH．
設(shè)OB=a，則OA=BH=3a，
又∵直線l剛好是拋物線的對稱軸，
∴OH=2，即4a=2，解得a=$\frac{1}{2}$．
∴OB=$\frac{1}{2}$．
（2）設(shè)OB=a，則OA=BH=3a．
∵∠AOH=OHD=∠ADH=90°，
∴四邊形AOHD為矩形．
∴四邊形ABCD的面積=矩形AOHD的面積-2△AOB的面積=3a•4a-2×$\frac{1}{2}$×a•3a=9，解得a=1（負(fù)值已舍去）．
∴OB=1，AO=3，OH=4．
∴點D的坐標(biāo)為（4，3）．
將（-1，0）代入拋物線的解析式得：-m-4m+3=0，解得m=$\frac{3}{5}$．
所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x+3．
∵點D的坐標(biāo)符合函數(shù)y=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x+3的關(guān)系式，
∴點D在二次函數(shù)的圖象上．
（3）①當(dāng)AB為平行四邊形的邊時，則PQ∥AB且PQ=AB．
如圖1所示：當(dāng)點Q在點P的上方時．

設(shè)點P的坐標(biāo)為（4，m）則點Q的坐標(biāo)為（3，m+3）．
將點Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：m+3=-$\frac{3}{5}$×9+$\frac{12}{5}$×3+3，解得m=$\frac{9}{5}$．
所以點Q的坐標(biāo)為（3，$\frac{24}{5}$）．
如圖2所示當(dāng)點Q在點P的下方時．

設(shè)點P的坐標(biāo)為（4，m）則點Q的坐標(biāo)為（5，m-3）．
將點Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：m-3=-$\frac{3}{5}$×25+$\frac{12}{5}$×5+3，解得m=3．
所以點Q的坐標(biāo)為（5，0）．
當(dāng)AB為拋物線的對角線時，設(shè)點P的坐標(biāo)為（4，m），Q（x，y）．
依據(jù)中點坐標(biāo)公式可知：$\frac{4+x}{2}=\frac{1}{2}$，$\frac{y+m}{2}=\frac{3}{2}$，
所以x=-3，y=3-m．
將點Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：3-m=-$\frac{3}{5}$×（-3）²-$\frac{36}{5}$+3，
解得：m=$\frac{63}{5}$．
所以點Q的坐標(biāo)為（-3，-$\frac{48}{5}$）．
所以點Q的坐標(biāo)為（3，$\frac{24}{5}$）或（5，0）或（-3，-$\frac{48}{5}$）．
②如圖3所示：當(dāng)點P在點C的上方時，且∠PBC=45°．

在△ABE和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=CBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE．
∴AE=EC．
設(shè)DE=a，則EC=AE=4-a．由（1）可知：DC=DH-CH=2，
在Rt△EDC中，由勾股定理得：a²+2²=（4-a）²，解得：a=1.5，
∴E（2.5，3）．
設(shè)BE的解析式為y=kx+b，將點B和點E的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2.5k+b=3}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=2，b=-2．
直線BE的解析式為y=2x-2．
將x=4代入得：y=6．
當(dāng)點P位于點P′處時，且∠P′BC=45°，則∠PBP′=90°．
設(shè)直線BP′的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+b，
將點B的坐標(biāo)代入得：-$\frac{1}{2}$×1+b=0，解得b=$\frac{1}{2}$．
∴直線BP′的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$．
將x=4代入得：y=-$\frac{3}{2}$．
∴n的取值范圍是-$\frac{3}{2}$＜n＜6．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，分類討論是解答問題（2）的關(guān)鍵，確定出將∠PBC=45時，點P的坐標(biāo)是解答問題（3）的關(guān)鍵．