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18.如圖,在平面直角坐標系中,點A為雙曲線y=kx(x>0)上一點,以O(shè)A為一邊向右作菱形OABC,且點C落在x軸正半軸上,邊BC于雙曲線交于點F,再以CF為一邊向右作菱形CFED,點D也落在x軸正半軸上,連接AC、CE、AE,已知∠AOC=60°,S△ACE=3,則S菱形OABC-S菱形CFED=23

分析 作AM⊥x軸于M,F(xiàn)N⊥x軸于N,連結(jié)DF交CE于G,如圖,設(shè)菱形OABC的邊長為a,菱形CFED的邊長為b,則OM=12a,CN=12b,由∠AOC=60°可判斷AO=AC=a,AM=3OM=32a,則A(12a,32a),同樣方法得到F(a+12b,32b),則根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到12a•32a=(a+12b)•32b,解得b=(2-1)a,在菱形CFED中,易得△FCD為等邊三角形,CG=FN=32b,CE=2CG=3b,接著利用對角線AC平分∠BCO,對角線CE平分∠FCD得到∠ACB=60°,∠FCE=30°,所以∠ACE=90°,利用三角形面積公式得12•a•3b=3,即ab=2,于是可計算出a2=22+2,b2=22-2,然后根據(jù)菱形的面積公式計算S菱形OABC-S菱形CFED

解答 解:作AM⊥x軸于M,F(xiàn)N⊥x軸于N,連結(jié)DF交CE于G,
如圖,設(shè)菱形OABC的邊長為a,菱形CFED的邊長為b,則OM=12a,CN=12b,
∵∠AOC=60°,
∴AM=3OM=32a,
∴A(12a,32a),
∵BC∥OA,
∴∠BOC=120°,∠FCD=60°,
∴FN=3CN=32b,
∴F(a+12b,32b),
∵點A和點F在雙曲線y=kx(x>0)上,
12a•32a=(a+12b)•32b,
整理得b2+2ab-a2=0,解得b=(2-1)a或b=(-2-1)a(舍去),
在菱形ABCO中,△AOC為等邊三角形,則AC=OA=a,
在菱形CFED中,△FCD為等邊三角形,CG=FN=32b,
∵CE和DF互相垂直平分,
∴CE=2CG=3b,
∵對角線AC平分∠BCO,對角線CE平分∠FCD,
∴∠ACB=60°,∠FCE=30°,
∴∠ACE=60°+30°=90°,
∵S△ACE=12AC•CE,
12•a•3b=3,即ab=2,
∴(2-1)a•a=2,即a2=22+2,
∴b2=(2-1)2a2=22-2,
∴S菱形OABC-S菱形CFED=a•32a-b•32b=32(a2-b2)=32(22+2-22+2)=23
故答案為23

點評 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題:熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征和菱形的性質(zhì);記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系;理解坐標與圖形性質(zhì).

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