18.如圖,在平面直角坐標系中,點A為雙曲線y=$\frac{k}{x}$(x>0)上一點,以O(shè)A為一邊向右作菱形OABC,且點C落在x軸正半軸上,邊BC于雙曲線交于點F,再以CF為一邊向右作菱形CFED,點D也落在x軸正半軸上,連接AC、CE、AE,已知∠AOC=60°,S△ACE=$\sqrt{3}$,則S菱形OABC-S菱形CFED=2$\sqrt{3}$.

分析 作AM⊥x軸于M,F(xiàn)N⊥x軸于N,連結(jié)DF交CE于G,如圖,設(shè)菱形OABC的邊長為a,菱形CFED的邊長為b,則OM=$\frac{1}{2}$a,CN=$\frac{1}{2}$b,由∠AOC=60°可判斷AO=AC=a,AM=$\sqrt{3}$OM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a,則A($\frac{1}{2}$a,$\frac{\sqrt{3}}{2}$a),同樣方法得到F(a+$\frac{1}{2}$b,$\frac{\sqrt{3}}{2}$b),則根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到$\frac{1}{2}$a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=(a+$\frac{1}{2}$b)•$\frac{\sqrt{3}}{2}$b,解得b=($\sqrt{2}$-1)a,在菱形CFED中,易得△FCD為等邊三角形,CG=FN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b,CE=2CG=$\sqrt{3}$b,接著利用對角線AC平分∠BCO,對角線CE平分∠FCD得到∠ACB=60°,∠FCE=30°,所以∠ACE=90°,利用三角形面積公式得$\frac{1}{2}$•a•$\sqrt{3}$b=$\sqrt{3}$,即ab=2,于是可計算出a2=2$\sqrt{2}$+2,b2=2$\sqrt{2}$-2,然后根據(jù)菱形的面積公式計算S菱形OABC-S菱形CFED

解答 解:作AM⊥x軸于M,F(xiàn)N⊥x軸于N,連結(jié)DF交CE于G,
如圖,設(shè)菱形OABC的邊長為a,菱形CFED的邊長為b,則OM=$\frac{1}{2}$a,CN=$\frac{1}{2}$b,
∵∠AOC=60°,
∴AM=$\sqrt{3}$OM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a,
∴A($\frac{1}{2}$a,$\frac{\sqrt{3}}{2}$a),
∵BC∥OA,
∴∠BOC=120°,∠FCD=60°,
∴FN=$\sqrt{3}$CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b,
∴F(a+$\frac{1}{2}$b,$\frac{\sqrt{3}}{2}$b),
∵點A和點F在雙曲線y=$\frac{k}{x}$(x>0)上,
∴$\frac{1}{2}$a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=(a+$\frac{1}{2}$b)•$\frac{\sqrt{3}}{2}$b,
整理得b2+2ab-a2=0,解得b=($\sqrt{2}$-1)a或b=(-$\sqrt{2}$-1)a(舍去),
在菱形ABCO中,△AOC為等邊三角形,則AC=OA=a,
在菱形CFED中,△FCD為等邊三角形,CG=FN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b,
∵CE和DF互相垂直平分,
∴CE=2CG=$\sqrt{3}$b,
∵對角線AC平分∠BCO,對角線CE平分∠FCD,
∴∠ACB=60°,∠FCE=30°,
∴∠ACE=60°+30°=90°,
∵S△ACE=$\frac{1}{2}$AC•CE,
∴$\frac{1}{2}$•a•$\sqrt{3}$b=$\sqrt{3}$,即ab=2,
∴($\sqrt{2}$-1)a•a=2,即a2=2$\sqrt{2}$+2,
∴b2=($\sqrt{2}$-1)2a2=2$\sqrt{2}$-2,
∴S菱形OABC-S菱形CFED=a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-b•$\frac{\sqrt{3}}{2}$b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$(a2-b2)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$(2$\sqrt{2}$+2-2$\sqrt{2}$+2)=2$\sqrt{3}$.
故答案為2$\sqrt{3}$.

點評 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題:熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征和菱形的性質(zhì);記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系;理解坐標與圖形性質(zhì).

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

8.如圖,AB、CD是⊙O的兩條弦,AB⊥CD,垂足為點M,AM=4,BM=6,CM=3,DM=8,求⊙O的半徑.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:填空題

9.如圖,OC是∠AOB的平分線,PD⊥DA,垂足為D,PD=2,則點P到OB的距離是2.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:填空題

6.如圖,a∥b,∠1=∠2,∠3=40°,則∠4等于70度.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:填空題

13.如果5個連續(xù)奇數(shù)的和是115,那么其中最小的奇數(shù)是19.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

3.如圖,直線l1、l2、…l6是一組等距離的平行線,過直線l1上的點A作兩條射線,分別與直線l3,l6相交于點B、E、C、F.若BC=2,則EF的長是( �。�
A.4B.5C.6D.7

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

10.如圖,在正方形ABCD中,AB=2$\sqrt{2}$,連接AC,以點C為圓心、AC長為半徑畫弧,點E在BC的延長線上,則陰影部分的面積為( �。�
A.6π-4B.6π-8C.8π-4D.8π-8

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

7.要使分式$\frac{2x}{x+3}$有意義,則x的取值應(yīng)滿足( �。�
A.x=0B.x≠0C.x=-3D.x≠-3

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

8.如圖,正方形ABCD,DF⊥AE于G,求證:BF=CE.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案