Question

9．如圖所示，在長方形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，點P沿AB邊從點A開始向點B以1厘米/秒的速度移動，點Q沿BC從點B開始向點C以2厘米/秒的速度移動，如果P、Q同時出發(fā)，用t（秒）表示移動的時間（0≤t≤6）．
（1）當PB=2厘米時，求點P移動多少秒？
（2）t為何值時，△PBQ為等腰直角三角形？
（3）求四邊形PBQD的面積，并探究一個與計算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由AB、PB的長可求得AP的長，則可求得t的值；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求得PB=BQ，則可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；
（3）可用t分別表示出S_△APD、S_△QCD，再利用面積的和差可求得四邊形PBQD的面積，則可求得結(jié)論．

解答 解：
（1）∵PB=2cm，AB=6cm，
∴AP=AB-PB=6-2=4（秒），
即點P移動4秒；
（2）∵△PBQ為等腰直角三角形，
∴PB=BQ，即6-t=2t，解得t=2
∴當t的值為2秒時，△PBQ為等腰直角三角形；
（3）由題意可知AP=t，AB=6，BQ=2t，BC=12，
∴PB=6-t，QC=12-2t，CD=6，AD=12，
∴S_△APD=$\frac{1}{2}$AP•AD=$\frac{1}{2}$t×12=6t，S_△QCD=$\frac{1}{2}$QC•CD=$\frac{1}{2}$（12-2t）6=36-6t，
∴S_{四邊形PBQD}=S_矩形ABCD-S_△APD-S_△QCD=72-6t-（36-6t）=36，
結(jié)論：不論P、Q怎樣運動總有四邊形PBQD的面積等于長方形ABCD面積的一半．

點評 本題為四邊形的綜合應(yīng)用，涉及等腰三角形的性質(zhì)、三角形的面積、方程思想及轉(zhuǎn)化思想．用t表示出相應(yīng)線段的長度，化動為靜是解決這類運動型問題的一般思想．本題考查知識點不是太多，難度不大．