Question

【題目】如圖，矩形AOBC，點(diǎn)A、B分別在x、y軸上，對(duì)角線AB、OC交于點(diǎn)D，點(diǎn)C（ ，1），點(diǎn)M是射線OC上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求證：△ACD是等邊三角形；
（2）若△OAM是等腰三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）若N是OA上的動(dòng)點(diǎn)，則MA+MN是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵C（ ，1），

∴AC=1，OA= ，

∴OC=2，

∴∠COA=30°，∠OCA=60°，

∵矩形AOBC，

∴AD＝CD=OD

且∠OCA=60°

∴△ACD是等邊三角形

（2）解：△OAM是等腰三角形，

當(dāng)OM=MA時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合，

∵C（ ，1），點(diǎn)D為OC中點(diǎn)，

∴M（ ， ）．

當(dāng)OM1=OA時(shí)，做M1E⊥OA，垂足為E，如下圖：

∴OM1=OA= ，

由（1）知∠M1OA=30°，

∴M1E= ，OE= ，

∴M1（ ， ）．

當(dāng)OA=OM2時(shí)，做M2F⊥OA，垂足為F，如上圖：

AM2= ，

由（1）知∠COA=∠AM2O=30°，

∴∠M2AF=60°，

∴AF= ，M2F= ，

M2（ ， ）．

綜上所述：點(diǎn)M坐標(biāo)為M（ ， ）、（ ， ）、（ ， ）

（3）解：存在，做點(diǎn)A關(guān)于直線OC對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為G，如下圖：

則AG⊥OC，且∠GOA=60°OG=OA= ，

∴ON= ，GN= ，

∵點(diǎn)A、G關(guān)于直線OC對(duì)稱(chēng)，

∴MG=MA，

∴MA+MN=MG+MN，

∵N是OA上的動(dòng)點(diǎn)，

∴當(dāng)GN⊥x軸時(shí)，MA+MN最小，

∴存在MA+MN存在最小值，最小值為 ．

【解析】（1）利用點(diǎn)C(3，1)，即可求出相應(yīng)角度為30°，則∠OCA=60°，根據(jù)矩形的性質(zhì)和直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半，則得出了有兩邊相等，且有一個(gè)角是60°，即可證明三角形是等邊三角形；
（2）此問(wèn)結(jié)合了分類(lèi)討論的思想，由等腰三角形性質(zhì)，對(duì)三角形OAM三邊關(guān)系進(jìn)行討論，分別求出三種情況討論，三種情況都是轉(zhuǎn)換不同的邊為底邊，另外兩邊相等，然后根據(jù)不同的情況求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)最短路徑探究，做點(diǎn)A關(guān)于直線OC對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，利用對(duì)稱(chēng)性可以求出最小值。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了含30度角的直角三角形和矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等才能正確解答此題．