Question

【題目】設(shè)m是不小于﹣1的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1 ， x2 ．
（1）若x12+x22=2，求m的值；
（2）代數(shù)式 + 有無最大值？若有，請(qǐng)求出最大值；若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意得△=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）≥0，解得m≤1，

∵m是不小于﹣1的實(shí)數(shù)

∴﹣1≤m≤1，

x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，

∵x12+x22=2，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=2，

∴4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）=2，

整理得m2﹣5m+4=0，解得m1=1，m2=4（舍去），

∴m的值為1

（2）解：代數(shù)式有最大值．理由如下：

+ =m =m =m =﹣2m+2，

∴﹣1≤m≤1且m≠0，m≠1，

∴當(dāng)m=﹣1時(shí)，代數(shù)式的值最大，最大值為4

【解析】（1）根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根知△=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）≥0，解得m≤1，又m是不小于﹣1的實(shí)數(shù)，從而得出m的取值范圍﹣1≤m≤1，將方程x12+x22=2變形為（x1+x2）2﹣2x1x2=2，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系得x1+x2=-2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，整體代入得出一個(gè)關(guān)于m的方程求解得出解得m1=1，m2=4（舍去），從而得出m的值；
（2）代數(shù)式有最大值．理由如下：將代數(shù)式通分合并，整體代入化簡(jiǎn)得出原式=﹣2m+2，又﹣1≤m≤1且m≠0，m≠1，故當(dāng)m=﹣1時(shí)，代數(shù)式的值最大，最大值為4
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解因式分解法(已知未知先分離，因式分解是其次．調(diào)整系數(shù)等互反，和差積套恒等式．完全平方等常數(shù)，間接配方顯優(yōu)勢(shì))，還要掌握求根公式(根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2、當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根3、當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．