Question

【題目】矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E．

（1）求證：△ABE是等腰直角三角形；

（2）若∠CAE=15°，求證：△ABO是等邊三角形；

（3）在（2）的條件下，求∠BOE的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）∠BOE=75°．

【解析】分析：（1）由矩形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得出△ABE是等腰直角三角形；

（2）由矩形的性質(zhì)得出OA=OB，再由角的和差關(guān)系可得∠AOB=60°，即可得出結(jié)論；

（3）由（2）的結(jié)論得出∠OBE=30°，證出OB=BE，求出∠BOE的度數(shù)即可．

詳解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABE=90°．

∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OB．

∵∠CAE=15°，∴∠BAO=45°+15°=60°，∴△AOB是等邊三角形；

（3）由（2）得：△AOB是等邊三角形，∴∠ABO=60°，∴∠OBE=90°﹣60°=30°．

∵BE=AB，OB=AB，∴OB=BE，∴∠BOE=（180°﹣30°）=75°．