Question

17．如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A、B重合的動點，BC∥OP，BC=OP．
（1）求證：四邊形AOCP是平行四邊形；
（2）若AB=4，填空：
①當AP=2時，四邊形AOCP是菱形；
②當AP=2$\sqrt{2}$時，四邊形OBCP是正方形．

Answer 1

分析 （1）先判斷出四邊形OBCP是平行四邊形，得出OB=PC，OB∥PC，再判斷出OA=PC，從而得出結論；
（2）由菱形直接得出鄰邊相等求出AP；
（2）由正方形得出∠AOP為直角，用勾股定理求解即可．

解答 解：（1）∵BC∥OP，BC=OP，
∴四邊形OBCP是平行四邊形，
∴OB=PC，OB∥PC，
∵AB是半圓O的直徑，
∴OA=OB，
∴OA=PC，
∵OB∥PC，
∴四邊形AOCP是平行四邊形；
（2）由（1）知，四邊形AOCP是平行四邊形，
∵四邊形AOCP是菱形；
∴AP=OA=$\frac{1}{2}$AB=2，
故答案為2，
（3）由（1）知，四邊形OBCP是平行四邊形，
∵四邊形OBCP是正方形．
∴∠BOP=∠AOP=90°，
在Rt△AOP中，OA=OP=$\frac{1}{2}$AB=2
根據(jù)勾股定理得AP=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$．
故答案為2$\sqrt{2}$．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了平行四邊形的判定和性質，菱形、正方形的性質，勾股定理，圓的性質，解本題的關鍵是判斷出四邊形AOCP是平行四邊形．